({{Číslo projektu, CZ.1.07/1.1.36/02.0066}, {Autor, Jaroslava Švecová}, {Předmět, Základy elektrotechniky}, {Téma, Trojfázová soustava 2}, {Metodický pokyn, výkladový text s ukázkami}})

Popis střídavého napětí
Trojfázová soustava

Matematický popis střídavého sinusového napětí je dán rovnicí:

			 	u=(Subscript[U, m])sin(ωt+ϕ).
			 
(Subscript[U, m]) je amplituda napětí ve Voltech, 
ω je úhlová frekvence v rad/s, 
ϕ je fázový posun v rad.

Vstupní údaje jsou (Subscript[U, m]), ω, ϕ:    (Subscript[U, m])[V], ω[rad/s], ϕ[rad]. 
Výstupem je grafické znázornění průběhu napětí.

Příklad průběhu napětí s fázovým posunem:

(Subscript[U, m])=10;ω=100;ϕ=π/6;
u[t_]=(Subscript[U, m])*Sin[ω*t+ϕ];
Plot[u[t],{t,0,2*π/ω},AxesLabel->{"t[s]","u[V]"}]

Průběh střídavého napětí lze také vyjádřit v závislosti na časovém úhlu α.
Platí				 α=ωt.
Matematický zápis napětí je:
				u=(Subscript[U, m])sin(α+ϕ).
				
Vstupní údaje: (Subscript[U, m])[V], α[rad], ϕ[rad]

(Subscript[U, m])=10;ϕ=π/6;
u[α_]=(Subscript[U, m])*Sin[α+ϕ];
Plot[u[α],{α,0,2*π},Ticks->{{0,π/2,π,3π/2,2π}},AxesLabel->{"α[rad]","u[V]"}]

Trojfázová soustava

Vznikne spojením 3 cívek (fází) geometricky posunutých o úhel ((360^o)/3) (((2π)/3)rad). V každé cívce se indukuje napětí o stejné amplitudě a frekvenci, ale fázově posunuté o úhel ((360^o)/3) (((2π)/3)rad). 
Matematický popis jednotlivých fází je: 
						(Subscript[u, U])=(Subscript[U, m])*sinωt
						(Subscript[u, V])=(Subscript[U, m])*sin(ωt-((2π)/3))
						(Subscript[u, W])=(Subscript[U, m])*sin(ωt+((2π)/3))
						
Použijeme dynamickou proměnnou: měníme frekvenci ω.
Amlituda napětí zůstává konstantní.

Manipulate[(Subscript[U, m])=50;
(Subscript[u, U])[t_]=(Subscript[U, m])*Sin[ω*t+0];
(Subscript[u, V])[t_]=(Subscript[U, m])*Sin[ω*t-((2*π)/3)];
(Subscript[u, W])[t_]=(Subscript[U, m])*Sin[ω*t-((4*π)/3)];
Plot[{(Subscript[u, U])[t],(Subscript[u, V])[t],(Subscript[u, W])[t]},{t,0,0.01},AxesLabel->{"t[s]","u[V]"},PlotLegends->"Expressions"],{ω,200,2500}]

Nyní použijeme dynamickou proměnnou a pro změnu amplitudy.

Manipulate[(Subscript[U, m])=1;
(Subscript[u, U])[α_]=(Subscript[U, m])*Sin[α+0];
(Subscript[u, V])[α_]=(Subscript[U, m])*Sin[α-((2*π)/3)];
(Subscript[u, W])[α_]=(Subscript[U, m])*Sin[α+((2*π)/3)];
Plot[{a*(Subscript[u, U])[α],a*(Subscript[u, V])[α],a*(Subscript[u, W])[α]},{α,0,2*π},Ticks->{{0,π/2,π,3π/2,2π}},AxesLabel->{"α[rad]","u[V]"},PlotRange->{-100,100},PlotLegends->{"(Subscript[u, U])","(Subscript[u, V])","(Subscript[u, W])"}],{a,20,100}]

Sbírka úloh


Příklady na procvičení

1. Pomocí příkazu Plot s využitím příkazu Manipulate zobrazte průběh trojfázového napětí pro dané parametry:  (Subscript[U, m])=12V, ω=1000rad/s.
2. Z grafu v př. 1 určete napětí všech fází v čase t=0,015s.
3. Určete součet napětí všech fází z příkladu 2 a odůvodněte výsledek.
4. V příkazu Manipulate změňte rozsah amplitudy napětí 0-230V a ověřte pro hodnotu 200V.


Zdroje :
 A.Blahovec	 Základy elektrotechniky v příkladech a úlohách