Středoškolská matematika v systému Mathemaca 7.0

... aneb několik příkladů na ukázku.

Úpravy výrazů

Mathematica umí zjednodušovat výrazy pomocí příkazu Simplify[].

(((a^2)-2a*b+(b^2))/(a-b))

Simplify[(((a^2)-2a*b+(b^2))/(a-b))]

Nebo v postfixovém zápisu...

(((a^2)-2a*b+(b^2))/(a-b))//Simplify

Něco složitějšího...

(1/(4 (-1+x)))-(1/(4 (1+x)))-(1/(2 (1+(x^2))))//Together

(1/(4 (-1+x)))-(1/(4 (1+x)))-(1/(2 (1+(x^2))))//Simplify

Podmínky si musí stanovit každý sám :-)

Dalsi lahudkz

((Sqrt[x])-(1/(Sqrt[x])))((((Sqrt[x])+1)/((Sqrt[x])-1))+4(Sqrt[x])-(((Sqrt[x])-1)/((Sqrt[x])+1)))//Simplify

(((2x+y)/(x+y))+((2y-x)/(x-y))-((x^2)/((x^2)-(y^2))))/(((x^2)+(y^2))/((x^2)-(y^2)))//Simplify

Pozor!!! na zápis následujícího výrazu!!!

(((a+(1/b)))^(-2))(((b-(1/a)))^(-3))(((a b-(1/(a b))))^2)//Simplify

Dosazování do výrazů

Operátor dosazení do výrazu je: "/." Např.

x^2 /. x->7

(((a+b))^3) /. a-> b

(((a+b))^3) /. a-> b+(c^2)

Znak % odkazuje na předchozí výstup a příkaz Expand[] provede umocnění výrazu.

Expand[%]

% /. b-> (1/(2c))

% // Simplify

Substituce

Substituce, nebo-li dosazení se opět provádí operátorem "/.", který můžeme použít např. při řešení bikvadratických rovnic.
POZOR: dosazení probíhá jen na symbolické úrovni (subsituový symbol je chápán jako vzor), nikoliv na úrovni významu. Tomu je třeba substituci přizpůsobit...

a (x^6)+1 /. x-> 3

Ale!!!

a (x^6)+1 /. (x^2)-> 3

Řešení:

a (x^6)+1 /. x-> (Sqrt[3])

Bikvadratická rovnice

rce = 2(x^4)-5(x^2)+1== 0

rce /. x-> (Sqrt[y])

Solve[rce /. x-> (Sqrt[y]), y]

Provedeme ručně zpětné dosazení do substituce. Určitě to jde i jinak, elegantněji, ale nevím jak...

Solve [(1/4) (5-(Sqrt[17]))==(x^2),x]

Solve [(1/4) (5+(Sqrt[17]))==(x^2),x]

Rekukce kubického čtyřčlenu

Při řešení kubických rovnic, pomocí Kardanových vzorců, je potřeba danou rovnici převést na tzv. redukovaný tvar (x^3)+p x +q = 0, ve kterém není kvadratický člen. V obecném případě kubické rovnice mohou po substituci vycházet "nepříjemná" čísla. Kubická rovnice má obecný a normalizovaný tvar:

({{({{a (x^3)+b (x^2)+c x +d=0}}),
(x^3)+(b/a)(x^2)+(c/a)x+(d/a)=0.}})

Do normalizovaného tvaru zavedeme substituci: x=y-(b/(3a)).

Apart[((a (x^3)+b (x^2)+c x+d)/a)]

%/. x->y-(b/(3a))//Expand

Collect[%, y]

Konkrétní příklad: redukujte rovnici 7(x^3)-5(x^2)+12x-1=0.

(1/7) (-1+12 x-5 (x^2)+7 (x^3))/. x->y-((-5)/21)

% // Simplify

Řešení různých typů rovnic a soustav

Soustavy rovnic

Reduce[{Sin[x]>(1/2), Log[x]<1},x, Reals]

Plot[{{Sin[x],(1/2)},{Log[x],1}},{x,-1,7}]

Solve nebo Reduce?

Solve[{x+y-2(Sqrt[x y])==4,x+y==10},{x,y}]

Reduce[{x+y-2(Sqrt[x y])==4,x+y==10},{x,y}]

Solve nebo Reduce?

Solve[Abs[(x/(x-1))]≥Abs[x-2],x]

Reduce[Abs[(x/(x-1))]≥Abs[x-2],x]

Reduce[Abs[(x/(x-1))]≥Abs[x-2],x, Reals]

Grafy a vlastnosti funkcí

Plot[Abs[x+1]+Abs[x-1],{x,-2,2},AxesOrigin->{0,1.5}]

Pomocí grafu najděte největší a nejmenší hodnotu funkce f(x)=(x/(2x-5)) v intervalu -1≤x≤2.

Clear[f,x]

f[x_] = (x/(2x-5))

Plot[f[x],{x, -1,2}]

Dosadíme zjištěné hodnoty -1 a 2

f[-1]

f[2]

Nebo najednou, jako taulku ...

Table[f[x],{x,{-1,2}}]

Lineární funkce

Lineární funkce má tvar f(x) = a x + b, kde . Nap

Plot[0.5x + 1,{x,-3,5}]

Manipulate[Plot[a x+b,{x,-3,6},AspectRatio->1,PlotRange->{-3,6}],{{a,0.5,"Linearní člen a"},-10,10, 0.1},{{b,0,"Absolutní člen b"},-4,4, 0.1}]

Kvadratická funkce

Plot[2(x^2)-3x-2,{x,-2,3.5}, AspectRatio->Automatic]

Plot[Table[a (x^2)-3x-2,{a,-3,3,0.5}],{x,-10,10}, PlotRange->{-10,10}, AspectRatio->Automatic]

Goniometrické funkce

Plot[{Sin[x], Cos[x]},{x,0,4 π},AspectRatio->Automatic]

Plot[{Tan[x], (1/(Tan[x]))},{x,0,4 π},AspectRatio->Automatic]

Poslopnosti a řady

Aritmetická posloupnost

(∑_(i=1)^10)i

(∑_(i=1)^n)i

(∑_(i=1)^n)(i^2)

Harmonická řada : -)

(∑_(i=1)^100)(1/i)

%//N

Kombinatorika

Faktoriál

10!

500!

100000!

Permutations[{A,B,C,D}]

Kombinace a variace

Permutations[{1,2,3,4,5},3]

Permutations[{1,2,3,4,5},{3}]

Permutations[Range[7],{3}]

Binomická věta

(((a+b))^3)// Expand

Table[Expand[(((a+b))^n)], {n,0,5}]//TableForm

Table[Expand[(((a-b))^n)], {n,1,10}]//TableForm

(((1-(Sqrt[3])))^7)//Expand

(((-2+3I))^5)

((((Sqrt[2])-2I))^4)//Expand

V binomickém rozvoji určete člen, který neobsahuje x.

(((2x-(3/(x^2))))^15)//Expand

((((x^(1/4))-(1/(x^(1/6)))))^10)//Expand

(((((x^2)^(1/3))-(4/((x^2)^(1/5)))))^12)//Expand

Obyčejné diferenciální rovnice

Někdy příště ...

DSolve[(x^2)+Sin[2x]==y'[x],y[x],x]