({{Číslo projektu, CZ.1.07/1.1.36/02.0066}, {Autor, Salah Ifrah}, {Předmět, Teorie automatického řízení}, {Téma, Rozvětvené řazení }, {Metodický pokyn, Pracovní list s úkoly}})

Rozvětvené řazení

Zadání
Soustava vyššího řádu je vytvořena z několika bloků nižšího řádu, jak je patrno z obrázku. Odvoďte  výsledný přenos soustavy vyššího řádu popisující dané systémy, jestliže přenosy jednotlivých bloků jsou:

Úkoly

1.	Připravte referát.  
2.	Odvoďte  obrazový přenos smyček a obrazový přenos výsledného systému G dle obrázku
	a.	uveďte definici obrazového přenosu a frekvenčního přenosu, 
	b.	určete vstupy a výstupy bloků G1 až G4 a  somátorů, 
	c.	napište vztah mezi vstupy a výstupy somátorů
	d.	napište vztah mezi vstupem a výstupem pro každý blok G1, G2, G3 a G4,
	e.	určete počet smyček regulačního obvodu a jejích přenosy,
	f.	napište výsledný přenos přímé větve zjednodušeného regulačního obvodu,
	g.	napište výsledný přenos pro každou smyčku regulačního obvodu,
	h.	na základě obou předchozích vztahů z bodů f) a g) sestavte výsledný  přenos regulačního obvodu G(s) = Y(s)/W(s) použitím Masonova pravidla,

3.	Ověřte výsledek rozvětveného řazení bloků G1(s), G2(s) , G3(s) , G4(s)      z bodu 2), podle potřeby si vyžádejte pomoc od učitele
	a.	v prostředí softwaru Wolfram-Mathematica otevřete soubor typu .nb (notebook) a nazvěte jej RozvRazSy _jmeno_trida_datum
	b.	seznamte s příkazovými řádky  TransferFunctionModel , TransferFunctionExpand a SystemsModelFeedbackConnect a jejich použití,
	c.	Vytvořte funkční model pomocí příkazových řádků : “ TransferFunctionModel “,  “TransferFunctionExpand “ a “SystemsModelFeedbackConnect”.
4.	Na základě funkčního modelu z bodu 3) určete řád výsledné soustavy G.

Závěr

do závěru se uvede porovnávání  vlastnosti rozvětného a vícerozměrného řazení bloků a zejména  jejích použití v průmyslové regulaci.

-------------------------------------

1-Příprava referátu - vyplněte hlavičku referátu (viz formalář).

2- Odvození obrazového přenosu soustavy vyššího řádu G dle obrázku
a-Obecná definice přenosové funkce
Přenosová funkce G je matematické vyjádření relace mezi vstupem lineárního systému u(t) a jeho výstupem y(t). Může být jednorozměný systém ( 1 vstup a 1 výstup) nebo vícerozměrný (několik vstupů a výstupů). Jsou znáné dva druhy přenosových funkcí obrazový a frekvenční přenos
	- obrazový přenos : podíl Laplaceova obrazu Y(s) výstupního signálu y(t) k L-obrazu vstupního U(s) signálu u(t) při nulových počátečních podmínkách. L-obrazy získáme z originálů 
	Laplaceovou 	transformací.
	
					G(s) = ((Y(s))/(U(s))), 			kde s ≡ (d/dt)	je operátor derivace
	
	- frekvenčný přenos : podíl Fourierova obrazu Y(jω) výstupního signálu y(t) k F-obrazu U(jω) vstupního signálu u(t) při nulových počátečních podmínkách. Frekvenční přenos lze 	
	formálně určit z obrazového přenosu dosazením s ≡ jω
	
						G( jω) = ((Y(jω))/(U(jω))), 			kde j komlexní operátor  a  ω krůhová frekvence

b-vstupy a výstupy bloků G1 až G4,  a sumátorů

- Blok G1 má
		  jeden vstup, ten je označen v časové oblasti (Subscript[e, 3])(t). Jeho vyjádření v oblasti algebraické  je (Subscript[E, 3])(s) tj. L-obraz (Subscript[e, 3])(t)
		  jeden výstup, ten je označen v časové oblasti u(t). Jeho vyjádření v oblasti algebraické  je U(s) tj. L-obraz u(t)

- Blok G2 má
		  jeden vstup, ten je označen v časové oblasti (Subscript[e, 2])(t). Jeho vyjádření v oblasti algebraické  je (Subscript[E, 2])(s) tj. L-obraz (Subscript[e, 2])(t)
		  jeden výstup, ten je označen v časové oblasti y(t). Jeho vyjádření v oblasti algebraické  je Y(s) tj. L-obraz y(t)

-Blok G3 má
		1 vstup, který jsou označen v časové oblasti  y(t) . Jeho vyjádření v aoblasti algebraické je Y(s) tj. L-obrazy y(t)
		1 výstup, který je označen v časové oblasti (Subscript[y, 3])(t). Jeho vyjádření v oblasti algebraické  je (Subscript[Y, 3])(s) tj. L-obraz (Subscript[y, 3])(t)

-Blok G4 má
		1 vstup, který jsou označen v časové oblasti  y(t) . Jeho vyjádření v aoblasti algebraické je Y(s) tj. L-obrazy y(t)
		1 výstup, který je označen v časové oblasti (Subscript[y, 4])(t). Jeho vyjádření v oblasti algebraické  je (Subscript[Y, 4])(s) tj. L-obraz (Subscript[y, 4])(t)

c,d-Relace mezi vstupem a výstupem pro bloky G1 až G4 a pro sumátory
		(Subscript[G1,  ]): U(s) = G1(s) *(Subscript[E, 3])(s) 
			(Subscript[G2,  ]): Y(s) = G2(s) *(Subscript[E, 2])(s)  
			(Subscript[G3,  ]): (Subscript[Y, 3])(s) = G3(s) *(Subscript[Y, 3])(s)	
			(Subscript[G4,  ]): (Subscript[Y, 4])(s) = G4(s) *Y(s)					
	sumátory:  	
		(Subscript[e, 4]): (Subscript[E, 4])(s) = W(s) + (Subscript[Y, 4])(s)

(Subscript[e, 4]): (Subscript[E, 3])(s) = (Subscript[E, 4])(s) - (Subscript[Y, 4])(s)

(Subscript[e, 2]): (Subscript[E, 2])(s) = U(s) + Y(s)

e,f,g,h-Počet smyček, jejích přenosy a výsledný přenos  regulačního obvodu
	Jsou 3 smyčky 
		První smyčka:

přenos přímé větve (cesta u(t) -> (Subscript[e, 2])(t) -> y(t),  přenos sumátoru je 1):  G2(s)
		
		Přenos smyčky dostaneme použitím Masonova pravidla :
		
		((Y(s))/(U(s))) = (Subscript[G, uy]) = ((G2(s))/(1-G2(s)))
		
		blokové schéma regulačního obvodu se zjednodušuje a dostaneme třetí smyčku:

Druhá smyčka: jedná se o vitřní zápornou zpětnou vazbu
		přenos přímé větve (cesta w(t) -> y(t),  přenos sumátoru je 1):  G1(s) * Guy(s)
		Přenos druhé smyčky dostaneme použitím Masonova pravidla :
		
		((Y(s))/((Subscript[E, 3])(s))) = Ge3y = ((G1(s)*Guy(s))/(1 + G3(s) * G1(s) * Guy(s)))
		
		blokové schéma regulačního obvodu se zjednodušuje a dostaneme třetí smyčku:

Třetí smyčka: jedná se o vnější kladnou zpětnou vazbu
		přenos přímé větve (cesta w(t) -> y(t),  přenos sumátoru je 1):  Ge3y(s) = G3(s) * G1(s) * Guy(s)
		Výsledný přenos poslední smyčky dostaneme použitím Masonova pravidla :
		
		((Y(s))/(W(s))) =  ((Ge3y(s))/(1 - G4(s) * Ge3y(s))) = (((G1(s)*Guy(s))/(1 + G3(s) * G1(s) * Guy(s)))/(1 - G4(s) *((G1(s)*Guy(s))/(1 + G3(s) * G1(s) * Guy(s))))) = (((G1(s)*((G2(s))/(1-G2(s))))/(1 + G3(s) * G1(s) * ((G2(s))/(1-G2(s)))))/(1 - G4(s) *((G1(s)*((G2(s))/(1-G2(s))))/(1 + G3(s) * G1(s) * ((G2(s))/(1-G2(s)))))))
		nebo
		
		((Y(s))/(W(s))) = (((G1*(G2/(1-G2)))/(1 + G3 * G1 * (G2/(1-G2))))/(1 - G4 *((G1*(G2/(1-G2)))/(1 + G3 * G1* (G2/(1-G2)))))) = (((G1*G2)/((1-G2+ G3 * G1 * G2)))/(1 - ((G4 *G1*G2)/(1-G2 + G3 * G1* G2)))) = ((G1*G2)/(1-G2 + G3 * G1* G2 - G4 *G1*G2))
		Po úpravě dostaneme
		
		((Y(s))/(W(s))) =  ((k1*(k2/(1+T2*s)) )/(1-(k2/(1+T2*s)) + (k3/(1+T3*s)) * k1* (k2/(1+T2*s)) - k4 *k1*(k2/(1+T2*s))))

3-Ověření výsledeků rozvětveného řazení

a- Tvorba souboru typu notebook

v prostředí Wolfram-mathematica - hlavní menu postupně klepněte levým tlačíttkem myši na:
	
			File -> New -> Notebook (.nb) nebo ctrl+N
	
	objeví se prázdný soubor s názvem “ untitled-číslo”

uložte jej pod názvem “RozvRazeni _jmeno_trida_datum”

b- seznámení se s jednotlivými příkazovými řádky
	v prostředí Wolfram-mathematica - hlavní menu postupně klepněte levým tlačíttkem myši na:
	
		Help ->Documentation Centre
	
	objeví se  podmenu

Do prázdného pole napište jednotlivé příkazové řádky a postupně prostudujte způsob  jejích použití

c- seznámení se s jednotlivými příkazovými řádky

Funkční model obrazového přenosu G1 dostaneme následujícím příkazovým řádkem

G1=TransferFunctionModel[{{k1 }},s]

Funkční model obrazového přenosu G2 dostaneme následujícím příkazovým řádkem

G2=TransferFunctionModel[{{(k2/(1+T2*s)) }},s]

Funkční model obrazového přenosu G2 dostaneme následujícím příkazovým řádkem

G3=TransferFunctionModel[{{(k3/(1+T3*s)) }},s]

Funkční model obrazového přenosu G4 dostaneme následujícím příkazovým řádkem

G4=TransferFunctionModel[{{k4 }},s]

Funkční model výsledného obrazového přenosu G můžeme dostat jedným příkazovým řádkem

G=TransferFunctionModel[{  ((k1*(k2/(1+T2*s)) )/(1-(k2/(1+T2*s)) + (k3/(1+T3*s)) * k1* (k2/(1+T2*s)) - k4 *k1*(k2/(1+T2*s))))} ,s]

Funkční model výsledné přenosové funkce vytvořime také jako funkci parametrů k2,k3, a T2,T3

Prenos[k1_,k2_,k3_,k4_,T2_,T3_]:=TransferFunctionModel[{{((k1*(k2/(1+T2*s)) )/(1-(k2/(1+T2*s)) + (k3/(1+T3*s)) * k1* (k2/(1+T2*s)) - k4 *k1*(k2/(1+T2*s))))  }} ,s]

Pro dané hodnoty k2=0.5, k3=0.3, T2=20, T3=10  můžeme vyjádřit přenosovou funkci jako běžnou funkci s názvem “ Prenos”. 
	Výsledek je následující funkční model reálné struktury.

GG=Prenos[0.2,0.5,0.3,0.4,20,10]

Zjednodušený obecný  tvar(zjednodušene struktury) dostaneme následujícím příkazovým řádkem

TransferFunctionCancel[GG]

Výsledný funkční model reálné struktury dostaneme také jedným příkovým řádkem

4- Řád soustavy G1 až G4, a rozměr výsledné soustavy G

Řád soustavy G2 určuje stupeň polynomu ve jmenovateli přenosové funkce G2, tedy je1
	Řád soustavy G3 určuje stupeň polynomu ve jmenovateli přenosové funkce G3, tedy je 1
	Výsledná soustava je vícerozměroná a má rozměr 2x1 tj. 2 vstupy a 1 výstup. 
	Řád výsledné soustavy je dán řadem dílčích přenosů G2 a G3.

Závěr

Zdroje
	http://reference.wolfram.com/mathematica/tutorial/FunctionNamesAsExpressions.html
	http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/TransferFunctionCancel.html?q=TransferFunctionCancel&lang=en
	http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/TransferFunctionModel.html?q=TransferFunctionModel&lang=en