Dynamické vlastnosti paralelního řazení systémů

Zadání
  Mějme systém popsaný uvedeným obrazovým přenosem:

G(s)=((k1)/(1+T1s)) +  ((k2)/(1+T2s)) ,           
		Kde:			
	         (Subscript[k, 1])= 1, (Subscript[k, 2])= 1, zesílení systému
		(Subscript[T, 1])= 1, (Subscript[T, 2])= 1,časová konstanta systému
		    s=jω, Laplaceův operátor
		    ω  - úhlová frekvence, je definovaná jako změna fáze za jednotku času
Úkoly
    
     1. Nakreslete blokové schéma systému a určete jeho řád.
2.Na základě blokového schématu z  bodu 1 napište relaci mezi vstupem a výstupem systému.
3. Provedte vypočet obrazového přenosu systému Gey a Gwy.
4. Nakreslete frekvenční charakteristiku(Nyquitův diagram) systému. 
5. Nakreslete amplitudovou a fázovou (Bodého diagram) systému .
6. Nakreslete přechodovou charakteristiku systému.
7. Nakreslete impulsovou charakteristiku systému.
8. Posuďte stabilitu regulačního obvodu  na základě jeho přechodové charakteristiky(viz obrázek).
9. Posuďte stabilitu regulačního obvodu na základě jeho frekvenční charakteristiky(viz obrázek).
                                                        
        
		Kde:
		Gs = G(s)=(1/(1+s))+ (1/(1+s)) , Gr = 1 a Gr = 100

								----------------------------------------------------

1. Blokové schéma a řád systému

	Blokové schéma systému G 

		                 
		 
		
			G = G1 + G2   			
		
       Řád výslednýho systému G
   	 G(s) : výsledný systém je prvního řádu

2. Relace mezi vstupem a výstupem systému G
	Laplaceův obraz výstupu Y(s) systému G je
	
	(Subscript[G,  ]): Y(s) = G(s) * U (s) = (((Subscript[k, 1])/(1+(Subscript[T, 1])s)) + ((Subscript[k, 2])/(1+(Subscript[T, 2])s))) U (s) 

3. Výpočet přenosu systému G

G=TransferFunctionModel[{{(1/(1+s)) + (1/(1+s))}},s]

Gey = TransferFunctionModel[{{100((1/(1+s))+(1/(1+s)))}},s]

4. Nyquitův diagram (frekvenční charakteristika v komplexní rovině) systému G

NyquistPlot[G, {ω,0,∞},AxesOrigin->{0,0},PlotRange->{{-0.2,2.2},{-1.1,0.2}}, PlotLegends ->"G=((Subscript[k, 1])/(1+(Subscript[T, 1])s))+((Subscript[k, 2])/(1+(Subscript[T, 2])s)),     kde s=jω, ω∈<0,∞), (Subscript[k, 1])=1, (Subscript[k, 2])=1,  (Subscript[T, 1])=1, (Subscript[T, 2])=1", AxesLabel->{Re["G"],Im["G"]}, PlotLabel->"frekvenční charakteristika systému G"]

5. Bodého diagram (Amplitudová a fázová charakteristika systému)

BodePlot[G, PlotLabel->{"AdB(ω), ω[rad/s]","Fdeg(ω), ω[rad/s]"},PlotLegends ->"   Amplitudová(AdB) a fázová(Fdeg) charakteristika systému G=((Subscript[k, 1])/(1+(Subscript[T, 1])s))+((Subscript[k, 2])/(1+(Subscript[T, 2])s)),     kde s=jω, ω∈<0,∞), (Subscript[k, 1])=1, (Subscript[k, 2])=1,  (Subscript[T, 1])=1, (Subscript[T, 2])=1"]

6. Přechodová charakteristika systému G

PreChaG=OutputResponse[G,UnitStep[t],t]//Simplify

Plot[{PreChaG,UnitStep[t]},{t,0,10},Exclusions->none,AxesOrigin->{0,0},PlotRange->{{0,10},{0,2.2}},PlotLabel->"přechodová charakteristika systému G",PlotLegends->"   G=((Subscript[k, 1])/(1+(Subscript[T, 1])s))+((Subscript[k, 2])/(1+(Subscript[T, 2])s)),     kde s=jω, ω∈<0,∞), (Subscript[k, 1])=1, (Subscript[k, 2])=1,  (Subscript[T, 1])=1, (Subscript[T, 2])=1,    u(t) = 1(t)", AxesLabel->{"čas t[s]","y(t)"}]

7. Impulsová charakteristika systému G

ImpChG=OutputResponse[G, DiracDelta[t], t]//Simplify

Plot[{ImpChG,DiracDelta[t]}, {t, 0, 150}, Exclusions->none,AxesOrigin->{0,0},PlotRange->{{0,100},{0,0.25}}, PlotLabel->"impulsová charakteristika systému G",PlotLegends ->"   G=((Subscript[k, 1])/(1+(Subscript[T, 1])s))+((Subscript[k, 2])/(1+(Subscript[T, 2])s)),     kde s=jω, ω∈<0,∞), (Subscript[k, 1])=1, (Subscript[k, 2])=1,  (Subscript[T, 1])=1, (Subscript[T, 2])=1,    u(t) = δ(t) je dirákův impuls", AxesLabel->{"čas t","y(t)"}]

8. Stabilita systému na základě jeho přechodové charakteristiky

Přechodová charakteristika přenosu otevřené regulační smyčky Gey pro Gr =1

PreChaGss=OutputResponse[G,UnitStep[t ] - UnitStep[t - 6] + UnitStep[t - 12] - UnitStep[t - 18]+ UnitStep[t - 24],t]//Simplify

Plot[{PreChaGss,UnitStep[t ] -UnitStep[t - 6] + UnitStep[t - 12]- UnitStep[t - 18]+ UnitStep[t - 24]},{t,0,40},Exclusions->none,AxesOrigin->{0,0},PlotRange->{{0,40},{0,2.2}},PlotLabel->"přechodová charakteristika systému G",PlotLegends->"   G= Gr( (k/((1+Ts))) + (k/((1+Ts)))),     kde s=jω, ω∈<0,∞), Gr = 1, k = 1, T = 1,    e(t) = 1(t)", AxesLabel->{"čas t","y(t)"}]

Přechodová charakteristika přenosu otevřené regulační smyčky Gey pro Gr =100

PreChaGss100=OutputResponse[Gey,UnitStep[t ] - UnitStep[t - 6] + UnitStep[t - 12] - UnitStep[t - 18]+ UnitStep[t - 24],t]//Simplify

Plot[{PreChaGss100,UnitStep[t ] -UnitStep[t - 6] + UnitStep[t - 12]- UnitStep[t - 18]+ UnitStep[t - 24]},{t,0,40},Exclusions->none,AxesOrigin->{0,0},PlotRange->{{0,40},{0,202.2}},PlotLabel->"přechodová charakteristika systému G",PlotLegends->"   G= Gr( (k/((1+Ts))) + (k/((1+Ts)))),     kde s=jω, ω∈<0,∞), Gr = 100, k = 1, T = 1,    e(t) = 1(t)", AxesLabel->{"čas t","y(t)"}]

Stabilita je schopnost systému vrátit se do ústaleného stavu (t ->∞) po odeznění vstupního signálu, jak je patrno z výše uvedené přechodové charaktristiky (viz obraz), kdy  má staitcké zesílení 
	-hodnotu 2 pro  e (t) = 1(t),     
	- hodnotu 200 pro  e (t) = 1(t) .

9. Stabilita systému na základě jeho frekvenční charakteristiky

Frekvenční charakteristika přenosu otevřené regulační smyčky Gey pro Gr = 100

NyquistPlot[Gey, {ω,0,∞},AxesOrigin->{0,0},PlotRange->{{-50.8,202.6},{-100.6,10.6}}, PlotLegends ->"  přenos systemu G=Gr( (k/((1+Ts))) + (k/((1+Ts)))),     kde s=jω, ω∈<0,∞), Gr = 100, k = 1, T = 1 ", AxesLabel->{Re["G"],Im["G"]}, PlotLabel->"frekvenční charakteristika systému G"]

Z grafického průběhu Nyquistovy křivky je zřejmé, že zadaný systém je stabilní, jelikož křivka otevřeného regulačního obvodu neobklopuje bod [-1,j0].

Prameny a literatura
Všechny uveřejněné odkazy
•	Interní studijní materiál školy a firemní dokumentace software Wolfram-Mathematica.

Materiál je určen pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.
Všechna neocitovaná autorská díla jsou dílem autora.
Všechny neocitované obrázky jsou součástí prostředků výukového software Microsoft office 2007.