({{Číslo projektu, CZ.1.07/1.1.36/02.0066}, {Autor, Pavel Florík}, {Předmět, Mechanika}, {Téma, Složená namáhání  normálová: Tah (tlak)a ohyb 1}, {Metodický pokyn, výkladový text s ukázkami}})

Namáhání v tahu a ohybu
Příklad č. 1
Proveďte kontrolu dutého svařovaného rámu  lisovacího nástroje  , který je svařen z obdélníkových profilů podle
obrázku 1. a zatížen  při lisování maximální silou F = 150000 N, působící 350 mm od vnitřního okraje rámu. Materiál rámu je ocel 11373. Zatížení budeme považovat za míjivé: σDov = 60 Mpa. Rozměry průřezu viz. obr.2
obr.1

Rozbor řešení:
Jedná se o ukázku výpočtu součástí na kombinované normálové zatížení, s nímž se v praxi velmi často setkáváme.
Rám lisu je zatížen silou, která namáhá konstrukci na excentrický tah. Nebezpečný průřez je nejdále od zatěžující síly. Tento výpočet je kontrolní, jelikož rozměry rámu jsou známy.


Řešení:
1. Určíme nebezpečný průřez a jeho těžiště.
2. Vypočteme kvadratický moment průřezu a modul průřezu v ohybu.
3. Vypočteme velikost napětí v ohybu a v tahu.
4. Vypočteme výsledné napětí a porovnáme jej s dovolenými hodnotami.
5. Nakreslíme si průběh napětí a určíme polohu neutrální osy.

ad 1: Určení nebezpečného průřezu a těžiště. Výpočet těžiště je dostatečně znám, takže se obejdeme bez  pomocného obrázku 2.

 obr.2    Celková plocha: součet všech dílčích ploch

(Subscript[S, 1])=15*290

(Subscript[S, 2])=5*600

(Subscript[S, 3])=30*290

(Subscript[S, C])== (Subscript[S, 1])+2*(Subscript[S, 2])+(Subscript[S, 3])

(Subscript[S, C])=19050

(Subscript[x, T])==(((Subscript[S, 1])*7.5+2*(Subscript[S, 2])*300+(Subscript[S, 3])*585)/(Subscript[S, C]))//N

Vzdálenost těžišťové osy (Subscript[x, T]) je 363,366 mm.

ad 2: Výpočet kvadratického momentu a modulu průřezu v ohybu.

Pozor! Musíme vypočítat kvadratické momenty dílčích obdélníků, převést je pomocí Steinerovy věty k centrální ose a poté je sečíst. Ohyb bude probíhat kolem osy “y” .

obr.3

(Subscript[J, y1])==((290*(15^3))/12)//N

(Subscript[J, y1])==81562.5`

(Subscript[a, 1])=363.366-7.5

(Subscript[S, 1])=4350;(Subscript[a, 1])=355.866;(Subscript[J, y1])=81562.5

(Subscript[J, y1T])==(Subscript[J, y1])+(Subscript[S, 1])*((Subscript[a, 1])^2)

(Subscript[J, y2])==((5*(600^3))/12)//N

(Subscript[a, 2])=300-363.366

(Subscript[S, 2])=3000;(Subscript[J, y2])=9.`*^7;(Subscript[a, 2])=63,366

(Subscript[J, y2T])=(Subscript[J, y2])+(Subscript[S, 2])*((Subscript[a, 2])^2)

(Subscript[J, y3])==((290*(30^3))/12)//N

(Subscript[a, 3])=236.634-15

221.634`

(Subscript[J, y3])=652500;(Subscript[a, 3])=221.634;(Subscript[S, 3])=8070

(Subscript[J, y3T])=(Subscript[J, y3])+(Subscript[S, 3])*((Subscript[a, 3])^2)

(Subscript[J, y1T])=5.509682158086`*^8;(Subscript[J, y2T])=1.02045749868`*^8;(Subscript[J, y3T])=3.9706405374491996`*^8

(Subscript[J, YT])==(Subscript[J, y1T])+2*(Subscript[J, y2T])+(Subscript[J, y3T])

Celkový kvadratický moment k ose y je (Subscript[J, yT]) =1, 15212 (x10^9)  (mm^4).
vzdálenosti krajních vláken průřezu od těžiště jsou: (Subscript[e, 1])= 363,366 mm a (Subscript[e, 2]) = 236,64 mm. Zjistíme z obr. 2 !

(Subscript[J, YT])=1.15212376928952`*^9;(Subscript[e, 1])=363.366;(Subscript[e, 2])=236.64

(Subscript[(Subscript[W, o]), 1])==((Subscript[J, YT])/(Subscript[e, 1]))

(Subscript[W, o2])==((Subscript[J, YT])/(Subscript[e, 2]))

Moduly průřezu v ohybu jsou: (Subscript[W, o1])=3,(1707.10^6) (mm^3) ;(Subscript[W, o2])=4,86868 ((.10)^6)  (mm^3)

ad 3: Výpočet napětí v tahu a ohybu.

Nebezpečný průřez je namáhán tahovým napětím o velikosti: σ =((Subscript[F, max])/(Subscript[S, c]))

ClearAll[(Subscript[F, max]);(Subscript[S, c])]
(Subscript[F, max])=150000;(Subscript[S, c])=19050;

(Subscript[σ, t])==((Subscript[F, max])/(Subscript[S, c]))//N

Napětí v tahu (Subscript[σ, t  ])je 7, 87402 MPa

Dále pak ohybovým napětím (Subscript[σ, o])=((Subscript[M, o])/(Subscript[W, o1,2]))
 Vzdálenost od zatěžující síly k těžišti průřezu je: R = XT + 350 mm = 713,366 mm

R=713.366;(Subscript[F, max])=150000

(Subscript[M, omax])==R*(Subscript[F, max])

(Subscript[M, omax])=1.070049`*^8;(Subscript[W, o1])=3.170697779345123`*^6;(Subscript[W, o2])=4.868677185976674`*^6

(Subscript[σ, o1])==-((Subscript[M, omax])/(Subscript[W, o1]))//N

(Subscript[σ, o2])==((Subscript[M, omax])/(Subscript[W, o2]))//N

ad 4: Výpočet výsledného napětí:
         Protože jsou všechna napětí normálová, můžeme je algebraicky sečíst. Pozor !!! Napětí od ohybu v krajním
           vlákně 1 je záporné , protože je tlakové, proto mínus.

(Subscript[σ, t])=7.9;(Subscript[σ, o1])=-33.748060347177216`;(Subscript[σ, o2])=21.978228564466725`

(Subscript[σ, 1])==(Subscript[σ, t])+(Subscript[σ, o1])

(Subscript[σ, 2])==(Subscript[σ, t])+(Subscript[σ, o2])

Výsledné tlakové napětí (Subscript[σ, 1 ])= -25,85 MPa; výsledné tahové napětí (Subscript[σ, 2]) = 29,88 MPa.Grafické znázornění výsledného napětí vidíme na obrázku.Protože jsou tyto hodnoty výrazně nižší než dovolené napětí, rám vyhovuje.

Závěr:
Je zřejmé, že více je namáhán průřez v místě 2 a to tahovým napětím, kdežto v místě 1 je napětí tlakové a menší, součtem napětí pak dochází k posunu neutrální  vrstvy a osy, kolem které probíhá ohyb. Protože je profil zhotoven z oceli, je nám celkem jedno, jak velké je dané napětí, pokud nepřekročí dovolenou hodnotu, protože ocel má stejnou pevnost v tlaku, jako v tahu.

Příklad k procvičení:
Nosník  průřezu “I” - 180 je zatížen na volném šikmou silou  působící pod úhlem 35°.Tato síla prochází těžištěm průřezu a má velikost 2570 N. Zkontrolujte velikost napětí v krajních vláknech průřezu a porovnejte s dovoleným napětím v ohybu o velikosti 85 MPa. Dále určete, jak se bude měnit napětí v krajních vláknech, jestliže se bude měnit sklon síly od 0; do 90° v krocích po 5°.

Zdroje

Mechanika II Pružnost & pevnost L.Mrňák- A.Drdla SNTL Praha 1978
Strojnické tabulky Vávra a kol.