({{Číslo projektu, CZ.1.07/1.1.36/02.0066}, {Autor, Pavel Florík}, {Předmět, Mechanika}, {Téma, Složená namáhání  normálová: Tah (tlak)a ohyb  2}, {Metodický pokyn, výkladový text s ukázkami}})

Namáhání v tahu a ohybu
Příklad č. 2
Proveďte kontrolu jeřábového háku, který přenáší zatížení o maximální hmotnosti m = 4t . Hák je zhotoven z oceli 12010
zápustkovým kováním,σDo = 105 Mpa. První část háku opatřená závitem má kruhový průřez 1-1 , druhá v kritickém místě má průřez podle obrázku 2. Ostatní rozměry háku jsou dány obr. 1. Bezpečnost háku je dána ČSN : k = 4 . Zatížení budeme považovat za míjivé. V tomto případě je průřez 2-2 pro jednoduchost  mírně idealizován.
obr.1


Rozbor řešení:
Jedná se o ukázku výpočtu součástí na kombinované normálové zatížení, s nímž se v praxi opět velmi často setkáváme.
Hák je zatížen silou, která jej namáhá v průřezu 2-2 na excentrický tah. Průřez 1-1 je namáhán pouze tahem. Nebezpečný průřez je nejdále od zatěžující síly. Tento výpočet je kontrolní, jelikož rozměry háku jsou známy.


Řešení:
1. Určíme nebezpečný průřez a jeho těžiště.
2. Vypočteme kvadratický moment průřezu a modul průřezu v ohybu.
3. Vypočteme velikost napětí v tahu pro průřez 1-1 v ohybu a v tahu pro průřez 2-2.
4. Vypočteme výsledné napětí a porovnáme jej s dovolenými hodnotami.
5. Nakreslíme si průběh napětí a určíme polohu neutrální osy.

ad 1: Určení nebezpečného průřezu a těžiště.

Pro výpočet háku  se považují za nebezpečné  průřezy: 1-1 a 2-2 viz obr.1. Průřez  1-1 je kruhový, počítá se na tah, tam není žádný záludný problém. U průřezu 2-2 tomu tak není, zde jsme nuceni  určit jeho modul průřezu a k tomu potřebujeme  vypočítat kvadratický moment průřezu a polohu těžiště. viz. obr. 2 a obr. 3

obr.2

(Subscript[S, 1])==((6*6)/2)//N

(Subscript[S, 2])==((59*10)/2)

(Subscript[S, 3])==6*28

(Subscript[S, 4])==20*59

(Subscript[S, 1])=12.5;(Subscript[S, 2])=300;(Subscript[S, 3])=168;(Subscript[S, 4])=1180

(Subscript[S, C])==2*(Subscript[S, 1])+2*(Subscript[S, 2])+(Subscript[S, 3])+(Subscript[S, 4])

(Subscript[S, 1])=18;(Subscript[S, 2])=295;(Subscript[S, 3])=168;(Subscript[S, 4])=1180;(Subscript[S, C])=1974;(Subscript[X, 1])=4;(Subscript[X, 2])=25.6;(Subscript[X, 3])=3;(Subscript[X, 4])=32.5

(Subscript[X, T])==((2*(Subscript[S, 1])*(Subscript[X, 1])+2*(Subscript[S, 2])*(Subscript[X, 2])+(Subscript[S, 3])*(Subscript[X, 3])+(Subscript[S, 4])*(Subscript[X, 4]))/(Subscript[S, C]))

ad 2: Výpočet kvadratického modulu průřezu (Subscript[J, y]) a modulu průřezu v ohybu (Subscript[W, oy]) (podle ČSN 270102).
Rozdělíme si průřez na obdélníkové proužky po 5mm, určíme jejich plochu ( S1 až S13: šířku 5 mm násobíme výškou středové osy obdélníčka :  “ a1 - a13 “viz. ftab) a vzdálenost dílčích těžišť od centrálního: “X1 až X13”, plochu dílku vynásobíme čtvercem vzdálenosti a výsledky sečteme. Tím získáme Jy. Na obr.3 nejsou přirozeně kvůli přehlednosti kótovány všechny vzdálenosti “X” a “a”, jsou zadány ve výpočtu pomocí příkazu ” ftab”. Nejlepší je vycházet z grafického znázornění průřezu.

obr.3

(Subscript[S, 1])=34*5

ftab=Table[a,{a,21,39,1.6}]

rovnice=Table[{a,{S==a*5}},{a,ftab}]

ftab=Table[X,{X,4.9,24.9,5}]

ftab=Table[X,{X,0.1,35.1,5}]

Pozor !!! (Subscript[X, 6])= 0.1 a viz obr.

Výpočet Jy a Woy

(Subscript[S, 1])=170;(Subscript[X, 1])=24.9;(Subscript[S, 2])=193;(Subscript[X, 2])=19.9;(Subscript[S, 3])=185;(Subscript[X, 3])=14.9;(Subscript[S, 4])=177;(Subscript[X, 4])=9.9;(Subscript[S, 5])=169;(Subscript[X, 5])=4.9;(Subscript[S, 6])=161;(Subscript[X, 6])=0.1;(Subscript[S, 7])=153;(Subscript[X, 7])=5.1;(Subscript[S, 8])=145;(Subscript[X, 8])=10.1;(Subscript[S, 9])=137;(Subscript[X, 9])=15.1;(Subscript[S, 10])=129;(Subscript[X, 10])=20.1;(Subscript[S, 11])=121;(Subscript[X, 11])=25.1;(Subscript[S, 12])=113;(Subscript[X, 12])=30.1;(Subscript[S, 13])=105;(Subscript[X, 13])=35.1

(Subscript[J, y])==Total[Table[(Subscript[S, n])*((Subscript[X, n])^2),{n,1,13}]]

Anebo:

(Subscript[J, y])==(∑_(n=1)^13)(Subscript[S, n])*((Subscript[X, n])^2)

(Subscript[J, y]) má hodnotu 654408 (mm^4)

Určení Woy: k výpočtu Woy potřebujeme znát vzdálenost krajních vláken průřezu k těžišťové ose a z obr.4 tedy vyplývá, že (Subscript[e, 1])= 27,4 mm  a (Subscript[e, 2 ])= 37,6 mm.

obr.4

(Subscript[e, 1])=27.4;(Subscript[e, 2])=37.6;(Subscript[J, y])=654408

(Subscript[W, oy1])=((Subscript[J, y])/(Subscript[e, 1]))//N

(Subscript[W, oy2])=((Subscript[J, y])/(Subscript[e, 2]))//N

Woy1 = 23883,5 (mm^3) a Woy2 = 17404,5 (mm^3)

ad 3: Výpočet tahového napětí pro průřez : 1-1 a 2-2

(Subscript[d, 1])=40; G=40000;(Subscript[σ, Dt])=120

(Subscript[σ, t1-1])=((G*4)/(π*((Subscript[d, 1])^2)))//N

(Subscript[S, C])=1974;

(Subscript[σ, t2-2])=(G/(Subscript[S, C]))//N

Napětí v tahu je v průřezu 1-1:  (Subscript[σ, t1-1])= 39,8 MPa a v průřezu 2-2: (Subscript[σ, t2-2]) = 25,3 MPa. Napětí v průřezu 1-1 je výrazně pod dovolenou hodnotou, takže průřez 1-1 vyhovuje. Nevadí nám ani oslabení průřezu závitem, jeho hodnotu stejně neznáme. Viz. kontrolní výpočet minimálního průměru.

(Subscript[d, min])=(Sqrt[((4*G)/(π*(Subscript[σ, Dt])))])//N

d min = 20.6013 mm

ad 4: Výpočet výsledného napětí v průřezu : 2-2
 průřez  2-2 je ještě namáhán ohybovým napětím vyvolaným momentem (Subscript[M, o]) = G.r; (r = R+ (Subscript[X, T])).

(Subscript[W, oy1])=23883.5;r=47.4;G=40000;(Subscript[W, oy2])=17404.5

(Subscript[σ, o1])=((G*r)/(Subscript[W, oy1]))//N

(Subscript[σ, o2])=-((G*r)/(Subscript[W, oy2]))//N

Nyní musíme vypočíst velikost celkového napětí a to tak, že dílčí napětí v tahu a ohybu sečteme.

(Subscript[σ, o1])=79.38534971842486`;(Subscript[σ, o2])=-108.93734379039904`;(Subscript[σ, t2-2])=20.26342451874367`

(Subscript[σ, 1])=(Subscript[σ, o1])+(Subscript[σ, t2-2])

(Subscript[σ, 2])=(Subscript[σ, o2])+(Subscript[σ, t2-2])

Výsledné tahové napětí (Subscript[σ, 1 ])= 99,65 MPa; výsledné tlakové napětí (Subscript[σ, 2]) = - 88,7 MPa.Grafické znázornění výsledného napětí vidíme na obrázku.Protože jsou tyto hodnoty nižší než dovolené napětí, hák vyhovuje.

ad .5 :Grafický průběh napětí v kritických průřezech.

Závěr:
Je zřejmé, že hák je namáhán v kritickém průřezu téměř na hranici dovoleného napětí, ovšem s bezpečností 4! Celkově tedy kontrolovaný hák vyhovuje v obou průřezech s dostatečnou bezpečností.

Příklad k procvičení:
Táhlo čtvercového průřezu s vybráním je zatíženo osovou silou F = 7800 N. Stanovte velikost strany “b” průřezu je- li
(Subscript[σ, Dt]) = (Subscript[σ, Dd])= 95 Mpa. Dále vypočtěte velikosti  napětí v krajních vláknech průřezu σ1 a σ2 v závislosti na sklonu síly F jež se mění od 0°do 90°v krocích po 10°. Tento průběh znázorněte graficky.

Zdroje

Mechanika II Pružnost & pevnost L.Mrňák- A.Drdla SNTL Praha 1978
Strojnické tabulky Vávra a kol.