({{Číslo projektu, CZ.1.07/1.1.36/02.0066}, {Autor, Pavel Florík}, {Předmět, Mechanika}, {Téma, Složená namáhání  normálová: Krut a ohyb  kruhových hřídelů}, {Metodický pokyn, výkladový text s ukázkami}})

Ohyb a krut kruhových hřídelů
Příklad č.2
Navrhněte průměr hnacího hřídele brusky s dvěma řemenicemi podle obrázku. Na hřídeli jsou naklínovány dvě řemenice o hmotnostech: řemenice o průměru (Subscript[D, 1]) = 480 mm ; (Subscript[m, 1]) = 42 kg  a řemenice s průměrem (Subscript[D, 2]) = 180mm ; (Subscript[m, 2]) = 21kg.
Přenos Mk je zajištěn plochými koženými řemeny.  Jejichž pásy jsou rovnoběžné a s vodorovnou rovinou svírají úhly:
α = 35° a β =55°. Hnací řemenice (Subscript[D, 1]) je poháněna elektromotorem AP 132 M-6 o výkonu 5,5 kW . Hřídel navrněte  podle  teorie HMH - 5-tá teorie. Materiál hřídele je :ocel 11600 a jeho namáhání v krutu je míjivé. (Subscript[σ, Do]) = 105 MPa.
Ostatní rozměry viz. obrázek.

Rozbor řešení:
Jedná se opět o ukázku výpočtu hřídele na kombinované namáhání.
Hřídel je namáhán prostorovou soustavou sil na ohyb a na krut. Smyková napětí při ohybu zanedbáme .
Při výpočtu budeme řešit silové namáhání v každé rovině zvlášť a výsledný ohybový moment vypočteme pomocí Pythagorovy věty. Ohyb je ve III.-tím (vždy) a krut ve  II.způsobu namáhání, k čemuž musíme přihlédnout při určení Bachova opravného součinitele.


Řešení:
1. Vypočteme velikost Mk, pomocí P a n
2. Vypočteme velikost obvodových sil na jednotlivých řemenicích z vypočteného Mk a protože se jedná o řemenový převod nesmíme zapomenout na to že, v zatížených částech pásu je síla dvakrát větší, nežli v části odlehčené !
3. V rovinách yz a xy vypočteme  velikost dílčích reakčních sil a velikosti maximálních ohybových momentů v těchto rovinách.
4. Vypočteme  celkové ohybové momenty v bodech 1 a 2 - zjistíme Momax .
5. Vypočteme velikost Mored a z něho průměr hřídele.

ad 1: Velikost kroutícího momentu Mk: (otáčky zjistíme dle typu motoru v ST; n = 950/ min)
          otáčky za sekundu a výkon ve wattech !

P=5500; n=950/60

(Subscript[M, k])==(P/(2*n*π))//N

Pozor !!! na tomto místě udělá většina žáků chybu, protože zapomene převést honotu Mk z N.m na N.mm !!!

Tedy Mk = 55285,4 N.mm

ad 2: Velikost obvodových sil : vyplývajících z velikosti Mk

(Subscript[M, k])=55285.4; (Subscript[D, 1])= 480;(Subscript[D, 2])=180

(Subscript[F, 1])=((2(Subscript[M, k]))/(Subscript[D, 1]))//N

(Subscript[F, 2])=((2(Subscript[M, k]))/(Subscript[D, 2]))//N

Síla (Subscript[F, 1]) = 230.4 N a síla (Subscript[F, 2]) = 614.3 N

Velikost skutečných sil zatěžujících hřídel:
 Výsledná síla se složí ze všech sil , které působí ve stejném směru tedy: 3 x F1; 3 x F2

(Subscript[F, V1])=3*(Subscript[F, 1])

(Subscript[F, V2])=3*(Subscript[F, 2])

Hřídel je zatížena šikmými silami (Subscript[F, V1])= 691 N a (Subscript[F, V2]) = 1843 N

Síla (Subscript[F, V1]) = 691 N a síla (Subscript[F, V2]) = 1843 N

ad 3: Výpočet velikosti reakčních sil  a dílčích ohybových momentů pro roviny yz a xy

Nejprve si musíme rozložit šikmé zatěžující síly do směrů “x a y”, tedy svisle a vodorovně !!!
Dále musíme připočíst pro svislé zatížení velikost tíhových sil (Subscript[G, 1]) a (Subscript[G, 2 ])od  hmotnosti řemenic. 

Svislé zatížení hřidele - osa “y”:

ClearAll[(Subscript[F, V1]);(Subscript[F, V2]);(Subscript[G, 1]);(Subscript[G, 2]);α;β]

(Subscript[F, V1])=691;(Subscript[F, V2])=1843;(Subscript[G, 1])=420;(Subscript[G, 2])=210;α=35°;β=55°

(Subscript[F, C1Y])=(Subscript[G, 1])+ (Subscript[F, V1])*Sin[α]//N

(Subscript[F, C2Y])=(Subscript[G, 2])+(Subscript[F, V2])*Sin[β]//N

Vodorovné zatížení hřídele - osa “x”:

(Subscript[F, C1X])=(Subscript[F, V1])*Cos[α]//N

(Subscript[F, C2X])=(Subscript[F, V2])*Cos[β]//N

Reakční síly ve svislé  rovině “ y-z ”

∑ Fy=0;(Subscript[R, Ay])- (Subscript[F, C1y])-(Subscript[F, C2y])+(Subscript[R, By])=0

∑ (Subscript[M, (A)])=0;(Subscript[F, C1y]).(a+b+c)-(Subscript[R, By]).(a+b)+(Subscript[F, C2y]).a=0

ClearAll[a;b;c;(Subscript[F, C1X]);(Subscript[F, C2X]);(Subscript[F, C1Y]);(Subscript[F, C2Y])]
a=380;b=250;c=150;(Subscript[F, C1X])=566.0340626036933`;(Subscript[F, C2X])=1057.1013721949778`;(Subscript[F, C1Y])=816.3413175185729`;(Subscript[F, C2Y])=1719.697217624612`

2677.29`

Solve[{(Subscript[R, AY])- (Subscript[F, C1Y])-(Subscript[F, C2Y])+(Subscript[R, BY])==0},{(Subscript[R, Ay])}]//N

Solve[{(Subscript[R, AY])- (Subscript[F, C1Y])-(Subscript[F, C2Y])+(Subscript[R, BY])==0,(Subscript[F, C1Y])*(a+b+c)-(Subscript[R, BY])*(a+b)+(Subscript[F, C2Y])*a==0},{(Subscript[R, BY]),(Subscript[R, AY])}]//N

{{(Subscript[R, BY])->2047.9859847013324`,(Subscript[R, AY])->488.05255044185265`}}

Reakce v rovině y-z : (Subscript[R, BY]) = 2048 N ; (Subscript[R, AY]) = 488  N

Reakce ve vodorovné rovině “ x-z ” :

Solve[{(Subscript[R, AX])+(Subscript[R, BX])+(Subscript[F, C2X])-(Subscript[F, C1X])==0},{(Subscript[R, AX])} ]//N

Solve[{(Subscript[R, AX])+(Subscript[R, BX])+(Subscript[F, C2X])-(Subscript[F, C1X])==0,(Subscript[R, BX])*(a+b)+ (Subscript[F, C1X])*(a+b+c)-(Subscript[F, C2X])*a==0},{(Subscript[R, BX]),(Subscript[R, AX])}]//N

Reakce v rovině x-z : (Subscript[R, AX]) = - 429 N ; (Subscript[R, BX]) = - 63,2 N

Výsledné reakční síly v podpěrách A a B a celkové síly (Subscript[F, C1 ]) a (Subscript[F, C2])
Získáme pomocí Pythagorovy věty:

(Subscript[R, AX])=-427.87993277098406`;(Subscript[R, AY])=488.05255044185265`;(Subscript[R, BX])=-63.18737682030039`;(Subscript[R, BY])=2047.9859847013324`;(Subscript[F, C1X])=566.0340626036933`;(Subscript[F, C2X])=-1057.1013721949778`;(Subscript[F, C1Y])=816.3413175185729`;(Subscript[F, C2Y])=1719.697217624612

(Subscript[R, A])==(Sqrt[((Subscript[R, AX])^2)+((Subscript[R, AY])^2)])

(Subscript[R, B])==(Sqrt[((Subscript[R, BY])^2)+((Subscript[R, BX])^2)])

(Subscript[F, C1])==(Sqrt[((Subscript[F, C1X])^2)+((Subscript[F, C1Y])^2)])

(Subscript[F, C2])==(Sqrt[((Subscript[F, C2X])^2)+((Subscript[F, C2Y])^2)])

ad 4: Výsledné  maximální ohybové momenty:

(Subscript[R, A])=649.0581860364284`;(Subscript[R, B])=2048.9605262480086`;a=380;b=250;c=150; (Subscript[F, C1])=993.3819540919802`;(Subscript[F, C2])=2018.6187929875064`

(Subscript[Mo, 1])=(Subscript[R, A])*a

(Subscript[Mo, 2])=(Subscript[F, C1])*c

ad 5: Výpočet Mored a průměru hřídele.

(Subscript[α, B])=0.65;(Subscript[Mo, 1])=246642.1106938428`;Mk=55285.4;(Subscript[σ, Do])=105;

Mored=(Sqrt[((Subscript[Mo, 1])^2)+0.75*(Subscript[α, B])*(Mk^2)])

Mored=((π*(d^3)*(Subscript[σ, Do]))/32)

(Subscript[σ, Do])=105;Mored=249644.47230197047`

d==(((32*Mored)/(π*(Subscript[σ, Do])))^(1/3))//N

d==28.931942075538963`

Průměr hřídele je 28,9 mm. Z praktických důvodů a vzhledem k oslabení hřídele z konstrukčních důvodů volíme jeho průměr d= 35mm.

Závěr:
Je zřejmé, že více řemenic na hřídeli úlohu značně komplikuje a to zejména tím, že síly působí v obecných rovinách.
Hřídel je namáhán složeným namáháním a to pouze mezi řemenicemi, protože zde působí kromě Mo ještě Mk a dále už jen na ohyb. Ohybová čára by byla prostorová křivka, protože Mo mění v ose “z” svou rovinu. V praxi je nutno hřídel kontrolovat ještě na tvarovou pevnost, povolenou deformaci a na kritické otáčky.

Příklad k procvičení:
Vypočtěte průměr hřídele odstředivého radiálního čerpadla poháněného  kuželovým soukolím o rozměrech 
R1 = 1200 mm; R2 = 800 mm ; přenášený výkon je : P = 1270 kW ; n = 15,7 ot/s ; tíha rotoru je: m = 1,85 t.
Míra požadované bezpečnosti je k = 2, materiál hřídele : ocel 11500.

Zdroje

Mechanika II Pružnost & pevnost L.Mrňák- A.Drdla SNTL Praha 1978
Strojnické tabulky Vávra a kol.