({{Číslo projektu, CZ.1.07/1.1.36/02.0066}, {Autor, Pavel Florík}, {Předmět, Mechanika}, {Téma, Složená namáhání -tečná tečná a normálová: krut a ohyb}, {Metodický pokyn, výkladový text s ukázkami}})

Ohyb a krut kruhových hřídelů
Příklad č.1
Navrhněte průměr hnacího hřídele s dvěma ozubenými koly s průměry roztečných kružnic:
D1 = 350 mm  a  D2 = 180 mm . Hřídel přenáší výkon přes kotoučovou spojku a převodovku od elektromotoru:
 P = 11 kW, při otáčkách n = 465 ot/min. Od spoluzabírajících kol na něj působí obvodové síly v rovinách x a z . Máme navrhnout  průměr hřídele podle  teorie HMH - 5-tá teorie. Materiál hřídele je :ocel 11700 a jeho namáhání v krutu je míjivé.
Ostatní rozměry viz. obrázek. a = 100 mm ; b = 400 mm ; c = 150 mm ; l = 650 mm

Rozbor řešení:
Jedná se o klasickou  a z hlediska  praxe velice častou ukázku výpočtu hřídele na kombinované namáhání.
Hřídel je namáhán prostorovou soustavou sil na ohyb a na krut. Smyková napětí při ohybu zanedbáme .
Při výpočtu budeme řešit silové namáhání v každé rovině zvlášť a výsledný ohybový moment vypočteme pomocí Pythagorovy věty. Ohyb je ve III.-tím a krut ve  II.způsobu namáhání, k čemuž musíme přihlédnout při určení Bachova opravného součinitele.


Řešení:
1. Vypočteme velikost Mk, pomocí P a n
2. Vypočteme velikost obvodových sil na jednotlivých ozubených kolech / jejich roztečných kružnicích /
     z vypočteného Mk
3. V rovinách yz a xy vypočteme  velikost dílčích reakčních sil a velikosti maximálních ohybových momentů v těchto rovinách pro místa 1 a 2.
4. Vypočteme  celkové ohybové momenty v bodech 1 a 2 - zjistíme Momax .
5. Vypočteme velikost Mored a z něho průměr hřídele.

ad 1: Velikost kroutícího momentu Mk: 
          otáčky za sekundu a výkon ve wattech !

P=11000; n=465/60

(Subscript[M, k])==(P/(2*n*π))//N

Pozor !!! na tomto místě udělá většina žáků chybu, protože zapomene převést honotu Mk z N.m na N.mm !!!

Tedy Mk = 225897 N.mm

ad 2: Velikost obvodových sil :

(Subscript[M, k])=225897; (Subscript[D, 1])= 350;(Subscript[D, 2])=150

(Subscript[F, 1])=((2(Subscript[M, k]))/(Subscript[D, 1]))//N

(Subscript[F, 2])=((2(Subscript[M, k]))/(Subscript[D, 2]))//N

Síla (Subscript[F, 1]) = 1291 N a síla (Subscript[F, 2]) = 3012 N

ad 3: Velikost reakčních sil  a dílčích ohybových momentů pro roviny yz a xy

Reakce v rovině yz
sílu (Subscript[F, 1 ])a (Subscript[F, 2]) si pomocí silové dvojice přeložíme do osy hřídele a vypočteme reakce pro nosník ve každé rovině zvlášť.
viz. Obr.

Σ (Subscript[F, z])=0; (Subscript[R, A])+ (Subscript[R, B ])- (Subscript[F, 1]) = 0
Σ (Subscript[M, (A)])= 0; (Subscript[F, 1]).a - (Subscript[R, B]) . l = 0

ClearAll[a;l;(Subscript[F, 1])]
a=100;l=650;(Subscript[F, 1])=1291

Solve[{(Subscript[R, AZ])+(Subscript[R, BZ])-(Subscript[F, 1])==0},{(Subscript[R, AZ])} ]//N

Solve[{(Subscript[R, AZ])+(Subscript[R, BZ])-(Subscript[F, 1])==0,(Subscript[R, BZ])*l+ (Subscript[F, 1])*a==0},{(Subscript[R, BZ]),(Subscript[R, AZ])}]//N

Reakce v rovině yz : (Subscript[R, BZ]) = 198,615 N ; (Subscript[R, AZ]) = 1489,62 N

Reakce v rovině xy :

Σ (Subscript[F, x])=0; (Subscript[R, AX])+ (Subscript[R, BX])- (Subscript[F, 2]) = 0
Σ (Subscript[M, (A)])= 0; (Subscript[F, 2]).(a+b) - (Subscript[R, BX]) . l = 0

ClearAll[a;b;l;(Subscript[F, 2])]
a=100;b=400;l=650;(Subscript[F, 2])=3012

Solve[{(Subscript[R, Ax])+(Subscript[R, Bx])-(Subscript[F, 2])==0},{(Subscript[R, AX])} ]//N

Solve[{(Subscript[R, AX])+(Subscript[R, BX])-(Subscript[F, 2])==0,(Subscript[R, BX])*l- (Subscript[F, 2])*(a+b)==0},{(Subscript[R, BX]),(Subscript[R, AX])}]//N

Reakce v rovině xy: (Subscript[R, AX]) = 695,077 N a (Subscript[R, BX]) = 2316,92 N

ad 4: Výpočet ohybových momentů a reakcí
Nyní máme dvě možnosti, buďto budeme řešit každou rovinu zvlášť, nebo z dílčích reakcí v jednotlivých rovinách složíme pomocí Pythagorovy věty výsledné reakce (Subscript[R, A]) a (Subscript[R, B])  ze kterých určíme Momax. Grafické znázornění viz obrázek.
Nám se zdá přehlednější druhá možnost. Ale pro srovnání si předvedeme obě dvě.

(Subscript[R, AZ])=1489.6153846153845`;(Subscript[R, BZ])=198.6153846153846`;a=100;b=150;

(Subscript[M, o1Z])== (Subscript[R, AZ])*a

(Subscript[M, o2Z])==(Subscript[R, BZ])*b

(Subscript[Mo, 1Z  ])= 148962 N.mm   a  (Subscript[Mo, 2Z]) = 29792,3 N.mm

(Subscript[R, BX])=2316.923076923077`;(Subscript[R, AX])=695.0769230769231`;a=100;b=150;

(Subscript[M, o1X])==(Subscript[R, AX])*a

(Subscript[M, o2X])==(Subscript[R, BX])*b

(Subscript[Mo, 1X ])= 69507,7 N.mm   a (Subscript[Mo, 2X ])= 347538 N.mm
Nyní tyto dílčí ohybové momenty sečteme pomocí Pythagorovy věty:

(Subscript[M, o1Z])=148962;(Subscript[M, o2Z])=29792.3;(Subscript[M, o1X])=69507.7;(Subscript[M, o2X])=347538.5;

(Subscript[M, o1])==(Sqrt[((Subscript[M, o1X])^2)+((Subscript[M, o1Z])^2)])

(Subscript[M, o2])==(Sqrt[((Subscript[M, o2X])^2)+((Subscript[M, o2Z])^2)])

Výsledné ohybové momenty v místech 1 a 2 jsou: (Subscript[Mo, 1 ])= 164381 N.mm a (Subscript[Mo, 2 ])= 348813 N.mm

A teď druhý způsob:

(Subscript[R, AZ])=1489.6153846153845`;(Subscript[R, BZ])=198.6153846153846`;(Subscript[R, BX])=2316.923076923077`;(Subscript[R, AX])=695.0769230769231`;a=100; b=150;

(Subscript[R, A])=(Sqrt[((Subscript[R, AX])^2)+((Subscript[R, AZ])^2)])

(Subscript[R, B])=(Sqrt[((Subscript[R, BX])^2)+((Subscript[R, BZ])^2)])

(Subscript[M, o1])=(Subscript[R, A])*a

164380.22761503048`

(Subscript[M, o2])=(Subscript[R, B])*b

348813.0786627042`

Jak sami vidíte, je výsledek shodný, záleží na vás, jaký postup vám více vyhovuje.Pro další výpočet je určující větší Mo, tedy (Subscript[Mo, 2]).

ad 5: Výpočet redukovaného momentu Mored a průměru hřídele.

nejprve si ze způsobu namáhání a z dovoleného napětí určíme Bachův opravný součinitel

(Subscript[M, o2])=348813;(Subscript[M, k])=225897;(Subscript[α, B])=0.765;(Subscript[σ, Do])=85;

(Subscript[M, ored])==(Sqrt[((Subscript[M, o2])^2)+0.75((((Subscript[α, B])*(Subscript[M, k])))^2)])

Redukovaný moment má hodnotu (Subscript[Mo, red])= 379563 N.mm

(Subscript[M, ored])=379563;(Subscript[σ, Do])=85;

Wo==((Subscript[M, ored])/(Subscript[σ, Do]))//N

Wo==4465.447058823529`

ClearAll[Wo]

Wo=4465.45;

d==((Wo*10)^(1/3))

Průměr hřídele je 35,477 mm. Z praktických důvodů a vzhledem k oslabení hřídele z konstrukčních důvodů volíme jeho průměr  podle[ ST ] d = 45 mm.

Závěr:
Je zřejmé, že více ozubených kol na hřídeli úlohu komplikuje a to zejména tím, že síly působí ve dvou na sebe kolmých rovinách. Hřídel je namáhán složeným namáháním a to pouze mezi ozubenými koly, protože zde působí kromě Mo ještě Mk a dále už jen na ohyb. Ohybová čára je prostorová křivka, protože Mo mění v ose “y” svou rovinu. V praxi je nutno hřídel kontrolovat ještě na tvarovou pevnost, povolenou deformaci a na kritické otáčky.

Příklad k procvičení:
Vypočtěte průměr hřídele  ručního navijáku na jehož kliku působí kolmá síla F = 550 N na rameni   o poloměru
 R1 =  425 mm, hmotnost ozubeného kola je 15 kg a jeho poloměr R2 = 250 mm ; l1= 125 mm; l2 = 185 mm; l3 = 140 mm. Hřídel je z oceli 11700. Dovolené napětí v ohybu je 70 Mpa.

Zdroje

Mechanika II Pružnost & pevnost L.Mrňák- A.Drdla SNTL Praha 1978
Strojnické tabulky Vávra a kol.