({{Číslo projektu, CZ.1.07/1.1.36/02.0066}, {Autor, Pavel Florík}, {Předmět, Mechanika}, {Téma, Deformace nosníků při ohybu}, {Metodický pokyn, výkladový text s ukázkami}})

Deformace nosníků při ohybu. 

Příklad č. 5
Vetknutý osazený nosník z oceli  11500  obdélníkového průřezu je zatížen  na svém konci oasmělou silou o velikosti
F = 1500 N podle obrázku. Zajímá nás, jak je velký celkový úhel natočení a průhyb nosníku, jestliže jeho rozměry jsou :
 a = 1 m, b = 1,5m;   délka  nosníku : l = 2,5 m. Příčné rozměry jsou: (Subscript[b, 1])=80mm; (Subscript[h, 1])= 150 mm; (Subscript[b, 2])= 60 mm ; (Subscript[h, 2])= 100 mm. Dále zkontrolujte napětí v nebezpečných průřezech, je-li : E = 2,1 ((.10)^5) MPa a (Subscript[σ, Do])= 125 MPa.


Rozbor řešení:
 Tento příklad je ukázkou výpočtu deformací vetknutého nosníku, který se v určitých aspektech liší od výpočtu deformací nosníků s neměnným průřezem. Nosník je deformován osamělou silou, nicméně protože se mění průřez nosníku je třeba redukovat ohybový moment, protože rozměrnější část je pevnější a neprohne se tolik. Postupujeme tedy tak, že řešíme každou zátěž zvlášť a výsledek sloučíme.Důležité je, že  v tomto příkladu aplikujeme již dříve nabyté zkušenosti s řešením deformace vetknutých nosníků. Další viz . obrázky.
pozn. Tento program neumí pracovat s konstantou E (modul pružnosti v tahu), tedy s jejím označením. Takže místo E se  bude ve výpočtech objevovat “ A”

Řešení:
1. Nejprve vypočteme velikost jednotlivých  kvadratických momentů.
2. Vypočteme poměr kvadratických momentů průřezu 
3. Vypočteme velikost deformací - úhel natočení a průhyb způsobený osamělou silou metodou momentové plochy.
4. Vypočteme ohybová napětí v nebezpečných průřezech a porovnáme s dovolenými hodnotami.

ad. 1 : Určení J1 a J2

(Subscript[b, 1])=80;(Subscript[h, 1])=150;(Subscript[b, 2])=60; (Subscript[h, 2])=100

(Subscript[J, 1])=((((Subscript[h, 1])^3)*(Subscript[b, 1]))/12)

(Subscript[J, 2])=((((Subscript[h, 2])^3)*(Subscript[b, 2]))/12)

ad 2: Určení poměru kvadratických momentů průřezu.

((Subscript[J, 2])/(Subscript[J, 1]))//N

ad 3 : Průhyb pod silou F (bod “D”) - redukujeme na průřez 2. Pozor ! A = E ! Ostatní viz. obrázek.

(Subscript[y, D])=(((Subscript[S, M1])*(Subscript[x, T1])+(Subscript[S, M2])*(Subscript[x, T2]))/(A*(Subscript[J, 2])))

F=1500;a=1000;b=1500;(Subscript[J, 1])=22500000;(Subscript[J, 2])=5000000;A=2.1*(10^5)

210000.`

(Subscript[S, M1])=(1/2)*F*(a+b)*(a+b)*((Subscript[J, 2])/(Subscript[J, 1]))//N

(Subscript[S, M2])=(1/2)*(F*b-F*b*((Subscript[J, 2])/(Subscript[J, 1])))*b//N

(Subscript[x, T1])=(2/3)(a+b)//N

(Subscript[x, T2])=(2/3)*b//N

(Subscript[y, D])=(((Subscript[S, M1])*(Subscript[x, T1])+(Subscript[S, M2])*(Subscript[x, T2]))/(A*(Subscript[J, 2])))//N

Průhyb pod silou F je 2,90344 mm.

(Subscript[α, D])=(((Subscript[S, M1])+(Subscript[S, M2]))/(A*(Subscript[J, 2])))//N

0.002242063492063492` radiánu.

Úhel natočení ve stupních:

(Subscript[α, D])=(((Subscript[S, M1])+(Subscript[S, M2]))/(A*(Subscript[J, 2])))*(180/π)//N

ad 4: Výpočet ohybových napětí v nebezpečných průřezech. Nebezpečné průřezy jsou : A a B. Platí pevnostní podmínka: (Subscript[σ, oA,B])=((Subscript[M, oA,B])/(Subscript[W, oA,B]))<(Subscript[σ, Do])

a=1000;b=1500;F=1500;(Subscript[h, 1])=150;(Subscript[h, 2])=100;(Subscript[b, 1])=80;(Subscript[b, 2])=60;(Subscript[σ, Do])=125

(Subscript[M, oB])=F*b

(Subscript[M, oA])=F*(a+b)

(Subscript[W, oB])=(((Subscript[b, 2])*((Subscript[h, 2])^2))/6)//N

(Subscript[W, oA])=(((Subscript[b, 1])*((Subscript[h, 1])^2))/6)//N

(Subscript[σ, oB])=((Subscript[M, oB])/(Subscript[W, oB]))//N

(Subscript[σ, oA])=((Subscript[M, oA])/(Subscript[W, oA]))//N

Napětí v nebezpečných průřezech A i B je: (Subscript[σ, oA]) = 12,5  Mpa a (Subscript[σ, oB ])= 22,5 Mpa, je tedy značně menší než dovolené napětí a průřezy vyhovují.

Celkový průhyb v bodě ”D” tzn. pod silou F je: (Subscript[y, D]) = 2,90344 mm a úhel natočení:
 (Subscript[α, D]) = 0,002242 rad, což je 0,128461°.

Závěr:
 Vidíme že průhyb osazeného / odstupňovaného / nosníku, je na řešení obtížnější, protože je nutno počítat s redukcí ohybových momentů. Nosník se logicky prohne méně v místech většího průřezu. Pro složitější zadání je výhodnější použít grafické / spíše graficko - početní / metody pomocí vláknového obrazce. 
 
 Příklad k procvičení:
 Vypočtěte celkový průhyb nosníku z předešlého příkladu u něhož se bude měnit rozměr h1 v mezích od 100mm do
  250 mm v krocích po 10mm.  Závislost průhybu na velikosti h1 vyjádřete též v grafu.

Zdroje

Mechanika II Pružnost & pevnost L.Mrňák- A.Drdla SNTL Praha 1978
Strojnické tabulky Vávra a kol.