({{Číslo projektu, CZ.1.07/1.1.36/02.0066}, {Autor, Jaroslava Švecová}, {Předmět, Základy elektrotechniky}, {Téma, Řešení elektrického obvodu - uzlová napětí}, {Metodický pokyn, výkladový text s ukázkami}})

Řešení obvodu metodou uzlových napětí

Obvod vyřešíme metodou uzlových napětí, která vychází z 1. KZ (tj. 1.Kirchhoffova zákona - o proudech v uzlu).

Je dáno schema obvodu, ve kterém označíme 3 uzly. Jeden uzel zvolíme jako vztažný.
Ve zbývajících (tj. dvou) uzlech označíme napětí vzhledem ke vztažnému uzlu (tzv. uzlová napětí). 
Pro každý uzel sestavíme rovnici podle 1. KZ o součtu proudů v uzlu. Proudy vyjádříme podle Ohmova zákona pomocí uzlových napětí.
Po matematických úpravách dostaneme soustavu 2 rovnic pro neznámé (Subscript[U, A]), (Subscript[U, B]).

Schema zapojení obvodu

Soustava 2 rovnic pro uzly A,B:

({{({{((1/(Subscript[R, 1]))+(1/(Subscript[R, 3]))+(1/(Subscript[R, 5])))(Subscript[U, A])-(1/(Subscript[R, 5]))(Subscript[U, B])=((Subscript[U, 1])/(Subscript[R, 1]))}})}})

({{({{-(1/(Subscript[R, 5]))(Subscript[U, A])+((1/(Subscript[R, 2]))+(1/(Subscript[R, 4]))+(1/(Subscript[R, 5])))(Subscript[U, B])=((Subscript[U, 2])/(Subscript[R, 2]))}})}})

Zadáme hodnoty odporů v Ohmech a napětí ve Voltech. Dále následuje příkaz na vyřešení smyčkových proudů.

(Subscript[R, 1])=2;
(Subscript[R, 2])=1;
(Subscript[R, 3])=4;
(Subscript[R, 4])=2;
(Subscript[R, 5])=2;
(Subscript[U, 1])=48;
(Subscript[U, 2])=30;
NSolve[{(1/(Subscript[R, 1])+1/(Subscript[R, 3])+1/(Subscript[R, 5]))UA-1/(Subscript[R, 5])UB==(Subscript[U, 1])/(Subscript[R, 1]),-1/(Subscript[R, 5])UA+(1/(Subscript[R, 2])+1/(Subscript[R, 4])+1/(Subscript[R, 5]))UB==(Subscript[U, 2])/(Subscript[R, 2])},{UA,UB}]

Řešením soustavy jsou uzlová napětí (Subscript[U, A]), (Subscript[U, B]) ve Voltech.

Nyní doplníme soustavu rovnic o rovnice pro výpočet jednotlivých proudů.

uzlnapeti=NSolve[{(1/(Subscript[R, 1])+1/(Subscript[R, 3])+1/(Subscript[R, 5]))UA-1/(Subscript[R, 5])UB==(Subscript[U, 1])/(Subscript[R, 1]),-1/(Subscript[R, 5])UA+(1/(Subscript[R, 2])+1/(Subscript[R, 4])+1/(Subscript[R, 5]))UB==(Subscript[U, 2])/(Subscript[R, 2])},{UA,UB}]

NSolve[{I1==(((Subscript[U, 1])-UA)/(Subscript[R, 1])),I2==(((Subscript[U, 2])-UB)/(Subscript[R, 2])),I3==(UA/(Subscript[R, 3])),I4==(UB/(Subscript[R, 4])),I5==((UA-UB)/(Subscript[R, 5]))},{I1,I2,I3,I4,I5}]/.uzlnapeti

Řešením jsou proudy v jednotlivých větvích obvodu: (Subscript[I, 1]), (Subscript[I, 2]), (Subscript[I, 3]), (Subscript[I, 4]), (Subscript[I, 5]).

Sbírka úloh

Příklady na procvičení

1.	V uvedeném příkladu zjistěte, jaká budou napětí na odporech (Subscript[R, 1  ]),(Subscript[R, 2  ]), (Subscript[R, 5  ]).

2.	Jak se změní všechny proudy v př. 1, když zdroj (Subscript[U, 1]) zkratujeme ((Subscript[U, 1])=0)?

3.	Vypočtěte proudy (Subscript[I, 4]) a (Subscript[I, 5 ]) v zadaném obvodu, jestliže odpory (Subscript[R, 1]), (Subscript[R, 2 ]), (Subscript[R, 5]) jsou 10Ω a (Subscript[R, 3]), (Subscript[R, 4]) jsou 5Ω. Napětí zdrojů 	(Subscript[U, 1])=60V,(Subscript[U, 2])=30V.

Zdroje :
 A. Blahovec		 Základy elektrotechniky v příkladech a úlohách