({{Číslo projektu, CZ.1.07/1.1.36/02.0066}, {Autor, Pavel Florík}, {Předmět, Mechanika}, {Téma, Namáhání součástí na krut}, {Metodický pokyn, výkladový text s ukázkami}})

Výpočet součástí namáhaných na krut - výpočet šroubovité kuželové pružiny.

Příklad č. 3
Vypočítejte průměr drátu “d” , počet závitů “n”,  celkovou délku  "
(Subscript[l, o])” a objemovou hustotu energie kuželové pružiny. Pro zatížení Silou F = 1500 N , při daných rozměrech : (Subscript[R, 1])= 35 mm, (Subscript[R, 2])=20 mm; stlačení " y 
” = 35 mm ,  (Subscript[τ, Dk]) = 400 MPa. Modul pružnosti ve  smyku G = 80000 MPa.

Rozbor úlohy:

Šroubové kuželové  pružiny nejsou  v učebnicích  řešeny jako vzorový příklad, proto jsem se rozhodl toto téma ukázkově zpracovat. Při výpočtu opět vycházíme z pevnostní rovnice pro krut. Dále musíme použít vztahy,které jsou uvedené v odborné literatuře, např.  Mechanika II-Pružnost & pevnost Mrňák & Drdla SNTL 1978. Dále viz řešení.


 Řešení: 
 
 1. z pevnostní rovnice určíme průměr drátu “d” .
 2. vypočteme (Subscript[l, max]).
 3. určíme počet činných závitů “n”
 4. vypočteme objemovou hustotu energie pružiny.
 
 
 ad.1 Z pevnostní rovnice pro krut : (Subscript[τ, dk]) ≥((Subscript[M, k])/(Subscript[W, k])) ( pro  Wk = 0,2(d^(3 ))) lze odvodit : 
 F . (Subscript[R, 1]) = 0,2(d^3).(Subscript[τ, dk]) ; z této rovnice získáme  “d”
 
 Dáno: (Subscript[τ, dk]); F;  (Subscript[R, 1])

ClearAll[(Subscript[τ, Dk]);F; (Subscript[R, 1]);]

(Subscript[τ, Dk])=400;F=1500; (Subscript[R, 1])=35

Solve[{0.2*(d^3)==((F*(Subscript[R, 1]))/(Subscript[τ, Dk]))},{d}]//N

Volíme drát o průměru 9 mm - Strojnické tabulky

ad. 2 : A nyní přichází čas pro použití vzorců z učebnice mechaniky: Délku drátu vypočteme z rovnice pro deformaci pružiny :

                                  y = ((l.(Subscript[τ, Dk]).(((Subscript[R, 1])^2)+((Subscript[R, 2])^2)))/(G.d. (Subscript[R, 1])))  

odkud je délka “ l ” :   l =((y.G.d.(Subscript[R, 1]))/((((Subscript[R, 1])^2)+((Subscript[R, 2])^2))(Subscript[τ, Dk])))

ClearAll[y;d;G;(Subscript[R, 1]);(Subscript[R, 2]);(Subscript[τ, Dk])]

y=35;d=9;G=8*(10^4);(Subscript[R, 1])=35;(Subscript[R, 2])=20;(Subscript[τ, Dk])=400

Solve[l==((y*d*G*(Subscript[R, 1]))/((((Subscript[R, 1])^2)+((Subscript[R, 2])^2))*(Subscript[τ, Dk])))]//N

Délka rozvinuté pružiny je: l =1357 mm

ad.3: Nyní musíme určit počet činných závitů, což zjistíme ze vztahu pro geometrickou délku: l = (((Subscript[R, 1])+(Subscript[R, 2]) )/2). 2.π.n

ClearAll[l;(Subscript[R, 1]);(Subscript[R, 2]);π]

l=1357;(Subscript[R, 1])=35;(Subscript[R, 2])=20

Solve[{n==(l/(π((Subscript[R, 1])+(Subscript[R, 2]))))},{n}]//N

Počet činných závitů je : n = 7,85

ad.4:  Výpočet objemové hustoty energie pružiny. Platí vztah : w = ((((Subscript[τ, Dk ])^2). V)/(8.G)) ;  V = ((π.(d^2).l)/4) - objem pružinového drátu. Pozor, je třeba zadat jednotky v Pa/ (m^2) a v m, abychom dostali výsledné jednotky (J/(m^3)) !!!

ClearAll[(Subscript[τ, Dk]);G;d;π;l]

(Subscript[τ, Dk])=400*(10^6);G=8*(10^10);d=0.009;l=1.357

Solve[w==((((Subscript[τ, Dk])^2)*π*(d^2)*l)/(8G))]//N

Objemová hustota energie je: 86,33 J/(m^3)


Závěr:
Jedná se o aplikaci znalostí získaných při výpočtech součástí namáhaných na krut a použití odborné literatury potřebné k řešení tohoto problému.

Příklad k procvičení:

Aplikujte nově nabyté poznatky a porovnejte s kuželovou šroubovou pružinou s obdélníkovým průřezem drátu, se stejnými parametry a stejným zatížením. 
Zadání viz obr. K řešení použijte učebnici Mechanika II. Pružnost & Pevnost.

Zdroje

Mechanika II Pružnost & pevnost L.Mrňák- A.Drdla SNTL Praha 1978
Strojnické tabulky Vávra a kol.