({{Číslo projektu, CZ.1.07/1.1.36/02.0066}, {Autor, Pavel Florík}, {Předmět, Mechanika}, {Téma, Deformace nosníků při ohybu}, {Metodický pokyn, výkladový text s ukázkami}})

Deformace nosníků při ohybu. 

Příklad č. 4
Nosník z oceli  11500   profilu “ I ” je zatížen  spojitým zatížením o velikosti q = 35 N/mm působící po celé  jeho délce
 “ l ”. Podle obrázku. Zajímá nás, jak je velký celkový úhel natočení a průhyb nosníku, jestliže jeho rozměry jsou :
   I č.220 - ČSN 425550, nosník je ocelový - 11425, tedy E = 2,1 ((.10)^5) MPa, délka  nosníku : l = 2,5 m


Rozbor řešení:
 Tento příklad je ukázkou výpočtu zatížení spojitým zatížením na nosníku o dvou podporách, který se v určitých aspektech liší od výpočtu zatížení osamělými silami. Nosník je deformován spojitým zatížením a dále je zatěžován reakcí v uložení, která působí jeho další deformaci.Tzn. skládáme dohromady dva účinky : spojitou zátěž a osamělou sílu. od toho se pak odvíjí další výpočet. Průběh Mo od zátěže “ q “ není lineární, ale kvadratický, plocha je tedy parabolická úseč a Mo od reakce má tvar trojúhelníka, neboť jeho průběh je lineární. Postupujeme tedy tak, že řešíme každou zátěž zvlášť a výsledek sloučíme. Nejprve určíme velikost reakcí, pak v místě působení Fq  nosník vetkneme a zatížíme jej spoj. zátěží, vyřešíme jeho deformaci a ten samý vetknutý nosník zatížíme na volném konci reakcí, opět vypočteme jeho deformaci a tyto následně sečteme, čímž získáme výslednou hodnotu průhybu. Důležité je, že  v tomto příkladu aplikujeme již dříve nabyté zkušenosti s řešením deformace vetknutých nosníků. Další viz . obrázky.
pozn. Tento program neumí pracovat s konstantou E (modul pružnosti v tahu), tedy s jejím označením. Takže místo E se  bude ve výpočtech objevovat “ A”

Řešení:
1. Nejprve vypočteme velikost Fq a umístíme jí do těžiště zatěžujícího obrazce, nosník tedy bude zatížen pouze jednou silou ! Určíme velikost reakčních sil a rozdělíme nosník na dva nosníky vetknuté uprostřed délky. Jeden zatížíme spojitým zatížením, druhý reakcí na jeho volném konci.
2. Vypočteme velikost deformací - úhel natočení a průhyb  pro nosník se spojitou zátěží. Pomocí metody momentové plochy (Subscript[S, M]) .
3. Vypočteme velikost deformací - úhel natočení a průhyb způsobený osamělou silou - Reakcí,  opět metodou momentové plochy.
4. Vypočteme průhyb celkový úhel natočení  a průhyb (Subscript[y, B]), které jsou dány rozdílem dílčích hodnot
 Průřezové hodnoty Jx, profilu “ I 220 ” zjistíme ve Strojnických tabulkách.

ad. 1 : Určení Fq a Mo max.
Nosník je zatížen spoj. zatížením “q “ , které nahradíme jednou osamělou silou Fq o velikosti plochy zatěžujícího obrazce, v našem případě obdélníka o stranách : q a  l, => Fq = q . l která působí uprostřed zatěžující délky “ l “.Průběh Momax má tvar paraboly,  protože rovnice pro Momax jest rovnicí paraboly. 
Momax = Fq . (1/2). (3/4).l = q (3/4) . l .(1.3/2.4) .l = (9/32)q. (l^2)

q=35;l=2500;

(Subscript[F, q])==q*l

(Subscript[F, 35])==87500

Zatěžující síla Fq = 87500 N, protože působí uprostřed nosníkuje je velikost reakcí  (Subscript[R, A ])a (Subscript[R, B]) = (Subscript[F, q])/2, tedy: 43750 N

ad.2: Vytvoření dvou typů nosníků vetknutých v místě působení Fq. A výpočet toho, co je zatížený spojitým zatížením. viz. obr. Nosník se ohýbá směrem dolů, moment má tedy záporné znaménko.

Výpočet plochy momentového obrazce (Subscript[S, M2]), podle obr. Pozor ! (Subscript[F, q2]) = q. l/2 !
 Plocha (Subscript[S, M2]) je rovna 1/4 plochy obdélníka : l/2 . Mo

q=35;l=2500

(Subscript[S, M2])==(1/4)*(l/2)*q*(l/2)*(l/4)

Výpočet úhlu natočení (Subscript[α, 1])
(Subscript[J, X]) = (3060.10^4) (mm^(4 ))[ ST] , E = A !!!

A=2.1*(10^5);(Subscript[J, x])=3060*(10^4);(Subscript[S, M2])=8544921875

(Subscript[α, B2])==((Subscript[S, M2])/(A*(Subscript[J, x])))//N

(Subscript[α, B2])==0.0013297419662309368`

Hodnota ve stupních:

(Subscript[α, B2])==((Subscript[S, M2])/(A*(Subscript[J, x])))*(180/π)//N

(Subscript[α, B2])==0.07618860250646031`°

Výpočet průhybu (Subscript[y, B2])

(Subscript[X, T2])=(3/4)*(l/2);l=2500;(Subscript[α, B2])=0.0013297419662309368`

(Subscript[y, B2])==(Subscript[α, B2])*(Subscript[X, T2])//N

Průhyb (Subscript[y, B2]) způsobený spojitým zatížením “ q “ je: 1,24663 mm, (Subscript[α, B2]) má hodnotu: 0,00132974 radiánu což je 0,076188°.

ad.3 : Výpočet nosníku zatíženého osamělou reakční silou (Subscript[R, A]) = (Subscript[F, q])/2. Zatížení viz. obr. Nosník se ohýbá směrem nahoru, proto má moment znaménko plus.

Opět vypočteme plochu momentového obrazce (Subscript[S, M1]):

q=35;l=2500

(Subscript[S, M1])==(((l/2)*((q*l)/2)*(l/2))/2)//N

Úhel natočení: (Subscript[α, 1])

A=2.1*(10^5);(Subscript[J, X])=3060*(10^4);(Subscript[S, M1])=3.41796875`*^10

(Subscript[α, B1])==((Subscript[S, M1])/(A*(Subscript[J, X])))//N

Hodnota ve stupních:

(Subscript[α, B1])==((Subscript[S, M1])/(A*(Subscript[J, X])))*(180/π)//N

(Subscript[α, B1])==0.30475441002584125`°

Průhyb (Subscript[y, B1]):

(Subscript[α, B1])=0.005318967864923747`;(Subscript[X, T1])=(2/3)*(l/2);l=2500

(Subscript[y, B1])==(Subscript[α, B1])*(Subscript[X, T1])

ad.4 : Výpočet celkového úhlu natočení a průhybu (Subscript[α, BC]) a (Subscript[y, BC])

(Subscript[α, B1])=0.005318967864923747`;(Subscript[α, B2])=0.0013297419662309368`

(Subscript[α, BC])==(Subscript[α, B1])-(Subscript[α, B2])

(Subscript[α, BC])=0.00398922589869281`

(Subscript[α, BC°])==(Subscript[α, BC])*(180/π)//N

(Subscript[y, B1])=4.43247322076979`;(Subscript[y, B2])=1.2466330933415033`

(Subscript[y, BC])==(Subscript[y, B1])-(Subscript[y, B2])

Celkový průhyb v bodě B tzn. pod silou Fq je: (Subscript[y, BC]) = 3,18584 mm a úhel natočení:
 (Subscript[α, BC]) = 0,00398923 rad, což je 0,228566°.

Závěr:
 Vidíme že průhyb způsobený reakcí je oproti průhybu způsobenému spojitým zatížením podstatně větší a má zásadní vliv na celkový výsledek. Opět je třeba připomenout, že jsme nezapočítali průhyb od vlastní tíhy nosníku. Doporučuji propočítat si tuto variantu reálného zatížení, jako další cvičný příklad.

Zdroje

Mechanika II Pružnost & pevnost L.Mrňák- A.Drdla SNTL Praha 1978
Strojnické tabulky Vávra a kol.