({{Číslo projektu, CZ.1.07/1.1.36/02.0066}, {Autor, Pavel Florík}, {Předmět, Mechanika}, {Téma, Deformace nosníků při ohybu}, {Metodický pokyn, výkladový text s ukázkami}})

Deformace nosníků při ohybu. 

Příklad č.3
 Vetknutý nosník z oceli  11500  obráceného profilu “U” je zatížen  spojitým zatížením o velikosti q = 25 N/mm působící na 3/4 jeho délky “ l ”. Podle obrázku. Zajímá nás, jak je velký celkový úhel natočení ,poloměr ohybové čáry a průhyb nosníku, jestliže je orientace profilu obrácené “ U “ a jeho rozměry jsou : U č.100 - ČSN 425550, nosník je ocelový, tedy E = 2,1 ((.10)^5) MPa, délka  nosníku : l = 1,5 m
Poznámka: Připomínáme, že úhel natočení α  je svírán  tečnou k ohybové čáře ( oranžová ) a podélnou osou nosníku viz obr. 2

Rozbor řešení:
 Tento příklad je ukázkou výpočtu zatížení spojitým zatížením, který se v určitých aspektech liší od výpočtu zatížení osamělými silami. Tzn. průběh Mo není lineární, ale kvadratický, plocha je tedy parabolická úseč. Její velikost stanovíme jednoduše tak, že je to 1/3 plochy obdélníka tvořeného z jedné strany délkou zatížení a z druhé velikostí Momax. Těžiště této plochy se nachází ve 3/4 délky zatížení “ l ”. Další postup je obdobný, jako u již probraných příkladů.
  pozn. Tento program neumí pracovat s konstantou E (modul pružnosti v tahu), tedy s jejím označením. Takže místo E se bude ve výpočtech objevovat “ A”

Řešení:
1. Nejprve vypočteme velikost Fq a umístíme jí do těžiště zatěžujícího obrazce, nosník tedy bude zatížen pouze jednou silou ! Určíme velikost a průběh  maximálního ohybového momentu Momax.
2. Vypočteme velikost momentové plochy (Subscript[S, M]) .
3. Vypočteme úhel natočení  (Subscript[(Subscript[α, B]),   ])a poloměr ohybové čáry  ρ. průřezové hodnoty profilu I 18 zjistíme ve Strojnických tabulkách.
4. Vypočteme průhyb   (Subscript[y, B]). Průřezové hodnoty Jx,Jy profilu “U 100” zjistíme ve Strojnických tabulkách.

ad. 1 : Určení Fq a Mo max.
Nosník je zatížen spoj. zatížením “q “ , které nahradíme jednou osamělou silou Fq o velikosti plochy zatěžujícího obrazce, v našem případě obdélníka o stranách : q a 3/4 l, => Fq = q . 3/4 l která působí uprostřed zatěžující délky 3/4 l.Průběh Momax má tvar paraboly,  protože rovnice pro Momax jest rovnicí paraboly. 
Momax = Fq . (1/2). (3/4).l = q (3/4) . l .(1.3/2.4) .l = (9/32)q. (l^2)

q=25;l=1500
Fq==q*3/4l

Síla Fq je 28125 N

Fq=28125;l=1500

Momax==Fq*3/8l//N

Momax má velikost 1,58203 (x10^7) N.mm

ad. 2: Velikost momentové plochy SM

Momax=1.58203125`*^7;l=1500

(Subscript[S, M])==1/3*Momax*3/4l

Velikost (Subscript[S, M]) je 5,93262x (10^9)N .(mm^2)

ad.3 : Nyní můžeme vypočíst úhel natočení průřezu :
 (Subscript[α, B])=((Subscript[S, M])/(E.J))

(Subscript[S, M])=5.9326171875`*^9;A=2*(10^5);(Subscript[J, y])=29.3*(10^4)

(Subscript[α, By])==((Subscript[S, M])/(A*(Subscript[J, y])))//N

(Subscript[α, By])=0,101239 radiánu
pro vyjádření ve stupních musíme rovnici vynásobit (180/π)

(Subscript[α, By])==((Subscript[S, M])/(A*(Subscript[J, y])))*(180/π)//N

(Subscript[α, By])==5.8005789472785425`

Úhel natočení  bude 5, 8 °

Poloměr ohybové čáry bude: ρ = ((E.J)/Momax)

A=2*(10^5);(Subscript[J, y])=29.3*(10^4);Momax=1.58203125`*^7

ϱ==((A*(Subscript[J, y]))/Momax)//N

ϱ==3704.0987654320984`

Poloměr ρ = 3704 mm

ad.4 : Výpočet průhybu nosníku v bodě B: Velikost úhlu natočení násobená vzdáleností těžiště momentové plochy k bodu B,

(Subscript[α, By])=0.10123920115187714`;(Subscript[x, T])=(13/16)l;l=1500

(Subscript[y, By])==(Subscript[α, By])*(Subscript[x, T])//N

(Subscript[y, By])==123.38527640385026`

Průhyb v bodě B je : y = 123,4 mm , což je poměrně hodně, proto můžeme provést srovnání s průhybem profilu  
“ U ” orientovaným na výšku.
Pozor na změnu “J” !!! Nyní počítáme s (Subscript[J, x]) => ST 206 (cm^4)

(Subscript[S, M])=5.9326171875`*^9;A=2*(10^5);(Subscript[J, x])=206*(10^4)

(Subscript[α, Bx])==((Subscript[S, M])/(A*(Subscript[J, x])))//N

(Subscript[α, Bx])==((Subscript[S, M])/(A*(Subscript[J, x])))*(180/π)//N

(Subscript[α, Bx])==0.8250338017245693`

(Subscript[α, Bx])=0.014399;(Subscript[x, T])=(13/16)*l;l=1500;

(Subscript[y, Bx])==(Subscript[α, Bx])*(Subscript[x, T])//N

(Subscript[y, Bx])==17.54878125`

Závěr:
Z výsledků je jasně patrné, jak podstatně se změní velikost deformací pouhým natočením průřezu o 90°. Díky změně velikosti kvadratického momentu průřezu. Při výpočtu jsme ovšem nepočítali s vlastní vahou nosníku, která by samozřejmě změnila celkový průhyb u obou variant.

Příklad k procvičení:
Vypočtěte úhel natočení a  průhyb nosníku v bodě “B”, podle obrázku. Nosník ocelový, profilu T -60 ČSN 425580;
  F = 1000 N; q´= 5 N/mm; l = 0,5 m

Zdroje

Mechanika II Pružnost & pevnost L.Mrňák- A.Drdla SNTL Praha 1978
Strojnické tabulky Vávra a kol.