({{Číslo projektu, CZ.1.07/1.1.36/02.0066}, {Autor, Markéta Šímová}, {Předmět, Aplikovaná matematika}, {Téma, Goniometrické funkce - kosinus}, {Metodický pokyn, výkladový text s ukázkami}})

Goniometrické funkce - kosinus

Funkce kosinus patří mezi goniometrické funkce a je dána  předpisem f: y = cos x

Graf funkce kosinus:

Plot[Cos[x], {x,0,2π}]

Plot[Cos[x], {x,-4π,4π}]

Závěr: Funkce kosinus je periodická s periodou 2π.

Co se musí změnit v předpisu základní funkce, aby se změnila její perioda?

Plot[Cos[2x], {x,-2π,2π}]

Plot[Cos[x/2], {x,-4π,4π}]

Plot[{Cos[x],Cos[2x],Cos[x/2]}, {x,0,2π},PlotLegends->{"y = cos x","y = cos 2x","y = cos\!\(\*FractionBox[\(\(x\)\(\\ \)\), \(2\)]\)"}]

Závěr: Perioda funkce kosinus je ovlivěna násobkem x.
       ( y = cos ax  ⟶ funkce se do základní periody 2π zobrazí a - krát )

Ověření:

Manipulate[Plot[Cos[a x],{x,0,12.56}, PlotRange->{-1,1}],{{a,1},-1,1}]

Jak se změní graf funkce, pokud k argumentu x přičteme (odečteme) číslo?

Plot[{Cos[x],Cos[x+π/4]}, {x,-π,4π},PlotLegends->{"y = cos x","y = cos (x+(ℼ/4))"}]

Plot[{Cos[x],Cos[x+π/4],Cos[x-π/3]}, {x,-π,4π},PlotLegends->{"y = cos x","y = cos (x+(ℼ/4))","y = cos (x-(ℼ/3))"}]

Manipulate[Plot[Cos[a x+b],{x,0,6.28}, PlotRange->{-1,1}],{{a,1},-1,1},{{b,0},-3,3}]

Závěr: y = cos ( x + a ) ⟶ graf funkce se posune po ose x o ( -a )
            y = cos ( x - a ) ⟶ graf funkce se posune po ose x o ( +a )

Jaký je vztah mezi funkcí sinus a kosinus?

Plot[{Sin[x],Cos[x]}, {x,0,2π},PlotLegends->{"y = sin x","y = cos x"}]

“Funkce kosinus je posunutá funkce sinus.” O kolik?

Plot[{Sin[x],Cos[x], Cos[x-π/2]}, {x,0,2π},PlotLegends->{"y = sin x = cos (x -(π/2))","y = cos x"}]

Plot[{Sin[x+π/2],Cos[x]}, {x,0,2π},PlotLegends->{"y = sin(x +(π/2))","y = cos x"}]

Závěr:
Platí:       cos x = sin ( x + (ℼ/2) ) 
               sin x = cos ( x - (ℼ/2) )

Sbírka úloh:
1. Zobrazte pomocí WM graf funkce y = cos 3x.
2. Jakou periodu má graf funkce y = cos 4x. Váš výsledek zkontrolujte pomocí WM.
3. Načtrněte do sešitu graf funkce y = cos ( x - (ℼ/4) ). Graf zkontrolujte pomocí WM.
4. Zobrazte pomocí WM graf funkce y = - cos x.
Aplikace znalostí:
5. Z grafu funkce y = cos x určete její maximum a minimum.
6. Z grafu funkce y = cos x určete intervaly, kdy je funkce rostoucí a kdy klesající.

Zdroje:
Polák, J.: Středoškolská matematika v úlohách I. Prometheus, Praha, 2006. IBSN 80-7196-337-2