({{Číslo projektu, CZ.1.07/1.1.36/02.0066}, {Autor, Jaroslava Švecová}, {Předmět, Základy elektrotechniky}, {Téma, Přechodové jevy RC}, {Metodický pokyn, výkladový text s ukázkami}})

Přechodové jevy - příklad

Zadání příkladu:

Kondenzátor o kapacitě 50μF se nabíjel z neznámého zdroje přes neznámý rezistor. Za 200ms vzrostlo napětí na kondenzátoru na 173V. Proud v okamžiku připojení zdroje byl 100mA. Určete napětí zdroje a odpor rezistoru.

Rozbor příkladu:

Přechodové jevy v obvodech RC řešíme pomocí exponenciálních rovnic.
V tomto příkladu jde o děj nabíjení kondenzátoru. Pro řešení využíváme nasledující rovnice:
 	
					napětí na kondenzátoru	(Subscript[u, C])=(Subscript[U, o])(1-(e^(-t/τ)))
					časová konstanta		τ=R*C
					počáteční proud		(Subscript[I, o])=((Subscript[U, o])/R)

Řešení příkladu:

Po dosazení zadaných hodnot: C=50μF , t=200ms, (Subscript[I, o])=100mA, (Subscript[u, C])=173V, dostaneme soustavu dvou rovnic pro dvě neznámé.
Nejprve určíme časovou konstantu τ=R*0.00005.  Dosazením času t=200ms a po úpravě dostaneme:

173=(Subscript[U, o])(1-(e^(-4000/R)))
				0.1=((Subscript[U, o])/R)

Tuto soustavu neumíme vyřešit běžnými matematickými prostředky. 
Nepomohly nám příkazy NSolve[{173==U*(1-(e^(-4000/R))),0.1==U/R},{U,R}]//N,
ani Solve[1730x==1-(e^(-4000x)),x]//N .

Řešení je možné pouze numerické, pomocí příkazu FindRood.
Je však třeba zadat počátěční (tj. startovací) hodnoty neznámých veličin.

Výsledné hodnoty vycházejí: U(V), R(Ω).

FindRoot[{173==U*(1-(E^(-4000/R))),0.1==U/R},{{U,100},{R,1000}}]

Jelikož jde o numerickou metodu, výsledky vycházejí s jistou přesností. Ta je však pro naše procvičování dostačující.

Aby byl příklad obecnější, zadáme počáteční hodnoty předem. 
Ty pak můžeme měnit a sledovat, jaký mají vliv na výstupní hodnoty.

(Subscript[C, o])=0.00005;
(Subscript[u, C])=173;
t=0.2;
(Subscript[I, o])=0.1;

FindRoot[{(Subscript[u, C])==U*(1-(E^(-t/(R*(Subscript[C, o]))))),(Subscript[I, o])==U/R},{{U,100},{R,1000}}]

Sbírka úloh

Příklady na procvičení


1.	Určete napětí zdroje, ze kterého se nabíjel kondenzátor o kapacitě 200μF a neznámý odpor v obvodu. Napětí na 		kondenzátoru je za 0.5s 200mA.
2.	Proveďte změnu v př. 1. Známe odpor v obvodu R=4kΩ a pro stejné zadané hodnoty určete napětí zdroje a kapacitu 		kondenzátoru.

Zdroje:

A. Blahovec		Základy elektrotechniky v příkladech a úlohách