({{Číslo projektu, CZ.1.07/1.1.36/02.0066}, {Autor, Pavel Florík}, {Předmět, Mechanika}, {Téma, Namáhání nosníků při ohybu}, {Metodický pokyn, výkladový text s ukázkami}})

Výpočet rozměrů nosníků zatížených osamělými silami. 
Varianta 1 - proměnná vzdálenost zatížení.

Příklad: 
Vypočti průřezové rozměry nosníku nerovnoramenného “L” zatíženého míjivými silami (Subscript[F, 1 ])= 1280 N a (Subscript[F, 2]) = 680 N, podle obrázku. Nosník je z oceli 11700, rozměry jsou: a = 600 mm; b = 350 mm; l = 1200mm; Vzhledem k míjivému zatížení volíme dovolené napětí v ohybu nižší : (Subscript[σ, Do])=95 Mpa. Dále urči, jak se bude - nebude měnit příčný rozměr nosníku,
 bude-li se měnit působiště síly (Subscript[F, 1]) “a” v rozsahu od: 10 - 600 mm. Srovnej s příkladem č. 1

Rozbor úlohy:
Jedná se o nosník zatížený dvojicí míjivě se měnících sil, na dvou podporách, proto je nutné volit nižší dovolené napětí v ohybu, dále si musíme uvědomit důležitost orientace profilu vzhledem k namáhání, tedy poloze neutrální osy. V tomto případě se jedná o osu “x”  a tedy modul průřezu Wox, viz. Strojnické tabulky.
Řešení:
1. Nosník uvolníme zavedením reakcí
2. Sestavíme rovnice rovnováhy a vypočteme velikost reakcí.
3. Nakreslíme si průběh posouvajících sil, což nám  umožní určit místo, kde je Momax. Tedy tam, kde “posouvačky” mění znaménko, nebo jsou rovny nule - Schwedlerova věta.
4. V tomto místě vedeme řez , ponecháme si jednodušší, tedy méně zatíženou část nosníku. Uvolněnou část nosníku uvedeme do rovnováhy připojením vnitřních sil a vypočteme ohybový moment k místu řezu “C”.
5. Kontrola je jednoduchá, spočítáme-li Mo max z druhé strany, musíme dostat stejný výsledek.
6. Dále za pomoci pevnostní rovnice určíme Wox a podle něj ze Stroj. tab. určíme výsledný profil.

ad.1.Uvolnění nosníku zavedením reakcí

ad.2. Rovnice rovnováhy:

     ∑    Fx = 0   Nejsou zde žádné síly ve směru x,  proto nula.
     ∑    Fy = 0   (Subscript[R, A]) + (Subscript[R, B]) -(Subscript[F, 1]) - (Subscript[F, 2]) = 0
     ∑   (Subscript[M, A]) = 0   (Subscript[F, 1]) .a + (Subscript[F, 2]) .(l - b) - (Subscript[R, B]).l = 0

ClearAll[(Subscript[F, 1]),(Subscript[F, 2]) ,l,a,b]

(Subscript[F, 1])=1280 ;(Subscript[F, 2]) =680;l=1200;a=600;b=350;

Solve[(Subscript[F, 1]) a+(Subscript[F, 2]) {l-b}-(Subscript[R, B]) l==0]//N

Solve[{(Subscript[R, A])+ (Subscript[R, B])-(Subscript[F, 1])-(Subscript[F, 2])==0,(Subscript[F, 1])  a+(Subscript[F, 2])  {l-b}-(Subscript[R, B])  l==0},{(Subscript[R, A]), (Subscript[R, B])}]//N

Působiště síly F1 se bude měnit v krocích po 2 mm .Musíme totiž zjistit, kde se (Subscript[R, A]) = (Subscript[F, 1 ]) ! Takže teď to bude poněkud dost nepřehledné.

ftab=Table[a,{a,10,600,2}]

Nyní vyřešíme velikost reakcí (Subscript[R, A]) a (Subscript[R, B]) s proměnnou hodnotou “ a” viz. další postup:

rovnice=Table[{a,{(Subscript[R, A])+(Subscript[R, B])-(Subscript[F, 1])-(Subscript[F, 2])==0, (Subscript[F, 1])  a +(Subscript[F, 2])(l-b)-(Subscript[R, B])  l==0}},{a,ftab}]

Zde vidíme, jak se mění velikost reakčních sil se změnou vzdálenosti "a"

vysl=Table[{res[[1]],Solve[res[[2]],{(Subscript[R, A]),(Subscript[R, B])}]},{res,rovnice}]//N

ad.3 Průběh posouvajících sil - důležité je místo, kde posouvající síla mění znaménko ! / C /

Tak a tady podle tabulky lehce zjistíme, kde  a  v jaké vzdálenosti je (Subscript[R, A]) = (Subscript[F, 1])( 1280 N) , a je to při: a = 186 mm viz.tabulka.

vysl//TableForm

Jak je zřejmé z půběhu posouvajících sil můžeme pro náš výpočet použít pouze rozsah od 186 mm do 600 protože teprve od této vzdálenosti mění posouvající síla svoje znaménko, nebo se rovná NULE. ((Subscript[R, A ]) = (Subscript[F, 1])) viz obr.  Musíme tedy lehce upravit náš výpočet viz. dále.

ftab=Table[a,{a,186,600,2}]

rovnice=Table[{a,{(Subscript[R, A])+(Subscript[R, B])-(Subscript[F, 1])-(Subscript[F, 2])==0, (Subscript[F, 1])  a +(Subscript[F, 2])(l-b)-(Subscript[R, B])  l==0}},{a,ftab}]

vysl=Table[{res[[1]],Solve[res[[2]],{(Subscript[R, A]),(Subscript[R, B])}]},{res,rovnice}]//N

vysl//TableForm

ad.4: Výpočet Mo max

momax=Table[pp[[1]]*(Subscript[R, A])/.pp[[2]][[1]],{pp,vysl}]

Momax ze změnil v rozsahu  od 238068 N.mm až do 503000 N.mm.Nyní můžeme zjistit Wox a určit rozměry nosníku.Bod č. 5 pro celkovou nepřehlednost vynecháváme.

ad. 6 : Výpočet potřebného modulu průřezu v ohybu Wox pro určení rozměrů nosníku “L”. Dovolené napětí v ohybu je 95 MPa

ClearAll[(Subscript[σ, Do])]

(Subscript[σ, Do])=95

Table[Solve[(Subscript[W, ox])==(mo/(Subscript[σ, Do])),(Subscript[W, ox])],{mo,momax}]//TableForm

Závěr:
Podle výsledků vidíme, že se (Subscript[W, ox]) mění v rozsahu od 2506 (mm^3) do 5295 (mm^3) tedy skoro dvojnásobně, nicméně  při volbě rozměru potřebného nosníku se podle Strojnických tabulek pohybujeme pouze v rozsahu L  63x40x4 až do L 63x40x6.
Tedy  žádná podstatná změna v rozměrech se nekoná. Kdybychom zvolili rovnou profil L 63x40x6 bude nosník  pouze lehce předimenzován.

Příklad k procvičení:
Nosník na dvou podpěrách obdélníkového průřezu je zatížen dvojicí  osamělých sil F1= 1500 N a F2 = 2600 N.
Vyšetřete průběh posouvajících sil a ohybových momentů a navrhněte jeho rozměry , je-li b:h = 0,765; materiál nosníku je ocel 11600 , a = 155mm l = 1250 mm, b = 650 mm, zatížení je míjivé.

Zdroje

Mechanika II Pružnost & pevnost L.Mrňák - A.Drdla  SNTL Praha 1978
Strojnické tabulky Vávra a kol.