({{Číslo projektu, CZ.1.07/1.1.36/02.0066}, {Autor, Pavel Florík}, {Předmět, Mechanika}, {Téma, Napětí v tahu }, {Metodický pokyn, výkladový text s ukázkami}})

NAPĚTÍ V TAHU ZPŮSOBENÉ ODSTŘEDIVOU SILOU
Příklad: 
Jak velká může být obvodová rychlost / otáčky / na středním poloměru ocelového setrvačníku, podle obrázku, nemůžeme-li překročit  dovolené napětí v tahu (Subscript[σ, Dt])= 120 MPa? Jak velká by byla obvodová rychlost pro litinový setrvačník stejných rozměrů ? Řešte nejprve obecně. Rozměry setrvačníku jsou : (Subscript[R, stř])= 0,75m; b = 250 mm; s = 150mm

Rozbor řešení:
Jedná se o příklad , kde využijeme jednak znalostí z pružnosti  & pevnosti a jednak z dynamiky.
Zamyslíme-li se nad daným příkladem vidíme, že se odstředivá síla bude snažit roztrhnout věnec v průřezu označeném : 1-1. Předpokládáme, že napětí v tahu je rovnoměrně rozloženo v obou průřezech. K určení odstředivé síly Fc si představme hmotnost věnce soustřeďenou a kružnici středního poloměru (Subscript[R, stř]) .   Pak je  působiště Fc v těžišti půlkruhového oblouku: (Subscript[r, T])=((2(Subscript[R, stř]))/π) .

Řešení:
1. Nejprve určíme hmotnost 1/2 věnce setrvačníku, protože velikost odstředivé síly Fc se musí počítat  z této hmotnosti
(druhá polovina způsobuje vznik Fc v opačném směru). viz. obrázek.
2. Dále určíme velikost odstředivé síly Fc = 1/2. m.(Subscript[r, T]).(ω^2)
3. Fc dosadíme do pevnostní rovnice pro tah a vypočteme maximální obvodovou rychlost a otáčky. Pozor odstředivé síle kladou odpor 2 průřezy s.b !

OBECNÝ VÝPOČET

ad.1 : Určení hmotnosti poloviny věnce setrvačníku. Dáno: b; s; (Subscript[R, stř]) ;ρ; π

Solve[m==(( b*s*(Subscript[R, stř])*ρ*π)/2),m]

ad.2 : Určení velikosti Fc. Pozor ! R = (Subscript[r, T]); (Subscript[r , T])=((2(Subscript[R, stř]))/π) !!! za ω dosazujeme ω =(v/R)!!!

Solve[Fc==m*((2(Subscript[R, stř]))/π)*(ω^2)/.({m->b π s ρ (Subscript[R, stř])})]

ad.3 : Dosazení do pevnostní rovnice pro tah. A následné určení velikosti max. obvodové rychlosti “v”. Rovnice pro tah je: (Subscript[σ, Dt]) =(F/S) ; => (Subscript[F, C]) = (Subscript[σ, Dt]). S ;  S = 2.b.s

Fc==2.b.s.(Subscript[σ, Dt])

b;s;(Subscript[R, stř]);(Subscript[σ, Dt]);π;ρ;ω=(v/(Subscript[R, stř]));

Solve[{2 b s (v^2) ρ==2*b*s*(Subscript[σ, Dt])},{v}]

vmax=(Sqrt[((Subscript[σ, Dt])/ρ)])

Solve[v==π* (Subscript[R, stř])*2*n,n]

Max. otáčky. n = ((Subscript[v, max])/(2π (Subscript[R, stř])))

Konkrétní výpočet pro VARIANTU 1 : OCELOVÝ SETRVAČNÍK, 
 zadané hodnoty: b = 0,250 m; s =0,150 m; (Subscript[R, stř]) =0,750  m; ρ = 7830 kg/(m^3); (Subscript[σ, Dt])=120MPa (pro výpočet (Subscript[v, max])je  (Subscript[σ, Dt])=(120.10^6) Pa ! abychom dostali (Subscript[v, max]) v metrech za sekundu)

b=0.250;s=0.150;(Subscript[R, stř])=0.750;ρ=7830;π;

NSolve[m==(( b*s*(Subscript[R, stř])*ρ*π)/2),m]

Hmotnost 1/2 věnce je 346 kg.

Odstředivá síla Fc: všechny veličiny jsou v základních jednotkách (m, kg, Pa, N,)

b=0.250;s=0.150;m=346;(Subscript[R, stř])=0.750;ρ =7830;π ;

Solve[Fc==m*((2(Subscript[R, stř]))/π)*(ω^2)/.({m->b π s ρ (Subscript[R, stř])})]

(Subscript[σ, Dt])=120*(10^6);b=0.250;s=0.150;(Subscript[R, stř])=0.750;ρ=7830;

NSolve[2* b *s *(v^2)* ρ==2*b*s*(Subscript[σ, Dt]),v]

Kritická obvodová rychlost je: (Subscript[v, max]) = 123,8 m/s

v=123.8

n==(v/(2 π (Subscript[R, stř])))

Kritické maximální otáčky (Subscript[n, max])=26,27 ot/s

VARIANTA 2: LITINOVÝ SETRVAČNÍK- šedá litina 422430

Rozměry zůstavají stejné, mění se hustota materiálu - ϱ  a (Subscript[σ, Dt]) :  ϱ =7250 kg/(m^3), (Subscript[σ, Dt]) = 60 Mpa

b=0.250;s=0.150;(Subscript[R, stř])=0.750;ρ=7250;π;

NSolve[m==(( b*s*(Subscript[R, stř])*ρ*π)/2),m]

Hmotnost 1/2 věnce je 320,3 kg.

Odstředivá síla Fc: všechny veličiny jsou v základních jednotkách (m, kg, Pa, N,)

Solve[Fc==m*((2(Subscript[R, stř]))/π)*(ω^2)/.({m->b π s ρ (Subscript[R, stř])})]

(Subscript[σ, Dt])=60*(10^6);b=0.250;s=0.150;(Subscript[R, stř])=0.750;ρ=7250;

NSolve[2* b *s *(v^2)* ρ==2*b*s*(Subscript[σ, Dt]),v]

Kritická obvodová rychlost je: (Subscript[v, max]) = 90,8 m/s

v=90.8

n==(v/(2 π (Subscript[R, stř])))

Kritické maximální otáčky (Subscript[n, max]) = 19.3 ot/s

Závěr:
Zajímavé na těchto příkladech jest zjištění, že pro určení max. otáček  nehrají rozměry setrvačníku žádnou roli. Záleží pouze a jedině na dovoleném napětí v tahu a na hustotě materiálu. Setrvačník se samozřejmě při dosažení těchto otáček neroztrhne, protože (Subscript[σ, Dt]) je navržena s určitou bezpečností, nicméně překračovat tyto otáčky není bezpečné.

Příklad k procvičení:
Sestavte podle předchozích příkladů graf závislosti otáček setrvačníku, podle použitého materiálu: Ocel; litina; bronz; hliník; mosaz; stříbro.

Zdroje

Mechanika II Pružnost & pevnost L.Mrňák - A.Drdla  SNTL Praha 1978
Mechanika III M. Julina - V.Venclík - J.Kovář SNTL Praha 1977
Strojnické tabulky Vávra a kol.