({{Číslo projektu, CZ.1.07/1.1.36/02.0066}, {Autor, Pavel Florík}, {Předmět, Mechanika}, {Téma, Deformace nosníků při ohybu}, {Metodický pokyn, výkladový text s ukázkami}})

Deformace nosníků při ohybu. 

Příklad č.2
Zalomený vetknutý nosník z oceli  11900  profilu “I” je zatížen  silou (Subscript[F, 1]) = 3500 N působící rovnoběžně s osou x  a silou (Subscript[F, 2]) = 6500 N působící v polovině délky vetknutí kolmo na osu x. Podle obrázku. Zajímá nás, jak je velký celkový úhel natočení a průhyb nosníku , jestliže jsou jeho rozměry : I č.18 - ČSN 425550 nosník je ocelový, tedy E= 2,1 ((.10)^5) MPa délka  nosníku : l = 1,5 m
Poznámka: Na obrázku i na dílčích obrázcích pro další výpočet není zakreslen a zakótován úhel natočení α a to z toho důvodu, že program Power point to dostatečně kvalitně neumožňuje. Proto pouze připomínáme, že úhel natočení je svírán  tečnou k ohybové čáře ( oranžová ) a podélnou osou nosníku

Rozbor řešení:
 Tento příklad je ukázkou metody “superpozice”, tedy postupného skládání účinků. Pro řešení je nutno si představit , že se jedná o dva smostatné nosníky zatížené silami (Subscript[F, 1]) a (Subscript[F, 2]); přičemž každá působí na nosník zvlášť. Proto řešíme deformaci nosníku pro každou sílu zvlášť a nakonec dílčí výsledky sloučíme, tedy:(Subscript[α, BC])= (Subscript[α, B1])+(Subscript[α, B2  ])a  (Subscript[y, BC])= (Subscript[y, B1]) + (Subscript[y, B2])
Ještě technická pozn. Tento program neumí pracovat s konstantou E (modul pružnosti v tahu), tedy s jejím označením. Takže místo E se bude ve výpočtech objevovat “ A”

Řešení:
1. Nosník rozdělíme na dva stejné nosníky,viz. obr. každý ale bude zatížen pouze jednou silou ! Určíme velikost a průběh dílčího maximálního ohybového momentu Momax1 a 2
2. Vypočteme velikost momentové plochy (Subscript[S, M])1 a 2
3. Vypočteme úhly natočení  (Subscript[α, B1])+(Subscript[α, B2  ])a sloučíme je průřezové hodnoty profilu I 18 zjistíme ve Strojnických tabulkách.
4. Vypočteme průhyby   (Subscript[y, B1 ])a  (Subscript[y, B2]) a opět je sloučíme

ad. 1-1 : Nosník zatížený silou F1
Nosník je zatížen osamělou silou  (Subscript[F, 1]), která působí na zalomeném konci.Průběk (Subscript[Momax, 1]) je konstantní, protože v libovolném místě je určen velikostí (Subscript[Momax, 1]) = (Subscript[F, 1]) .l/4 . Ohyb zalomené části nosníku neřešíme. Momentová plocha (Subscript[S, M1]) má tedy tvar obdélníka a poloha težiště této plochy je:(Subscript[x, T]) = l/2 -protože počítáme průhyb k bodu B !!! Deformace nosníku logicky probíhá v záporném směru, tzn. nahoru, proto ozn. mínus na ploše.




    Úhel natočení stanovíme podle poučky: α = velikost momentové plochy dělená tuhostí v ohybu.

(Subscript[Momax, 1])

ClearAll[(Subscript[F, 1]),l]

(Subscript[F, 1])=3500;l=1500

NSolve[Mo==(Subscript[F, 1])*(l/4),Mo]

(Subscript[Momax, 1]) = 1312500 N.mm

ad 2-1: Výpočet (Subscript[S, M1])

(Subscript[Momax, 1])=1.3125`*^6;l=1500

Solve[(Subscript[S, M1])==(Subscript[Momax, 1])*l,(Subscript[S, M1])]//N

Velikost (Subscript[S, M1]) je 1968750000N.(mm^2)

ad 3-1: Výpočet (Subscript[α, B1]); Dáno:  A = 2,(1.10^5) Mpa, (Subscript[J, x])=14500000 (mm^4)[ST] POZOR !!! tento vykutálený program neumí pracovat s modulem pružnosti v tahu označeným “E”, proto jej nahrazujeme “ “A”

(Subscript[S, M1])=1.96875`*^9;(Subscript[J, x])=14500000;A=2.1*(10^5)

NSolve[(Subscript[α, B1])==((Subscript[S, M1])/(A*(Subscript[J, x]))),(Subscript[α, B1])]

{{(Subscript[α, B1])->0.0006465517241379311`}}

Úhel natočení (Subscript[α, B1]) má hodnotu -0,00064652 radiánů.

ad 4 -1: Výpočet průhybu (Subscript[y, B1])
průhyb stanovíme podle poučky: y = úhel natočení krát vzdálenost těžiště momentové plochy k místu kde nás průhyb zajímá.

(Subscript[x, T])=750;(Subscript[α, B1])=0.0006465517241379311`

Solve[(Subscript[y, B1])==(Subscript[x, T])*(Subscript[α, B1]),(Subscript[y, B1])]//N

Průhyb (Subscript[y, B1])= - 0, 484914 mm

ad. 1 - 2 : Nosník zatížený silou F2
Nosník je zatížen osamělou silou  (Subscript[F, 2]), která působí v polovině délky nosníku.Průběk (Subscript[Momax, 2]) je lineární,  a je určen velikostí (Subscript[Momax, 2]) = (Subscript[F, 2]) .l/2 .  Momentová plocha (Subscript[S, M2])=(( [Momax 2] .l/2)/2) má tedy tvar trojúhelníka a poloha težiště této
 plochy je:(Subscript[x, T]) = l/2 + 2/3.l/2 - protože zjišťujeme průhyb až v bodě B !!!. Deformace nosníku logicky probíhá v kladném směru, tzn.dolů, proto ozn. plus na ploše.

Úhel natočení opět stanovíme podle poučky : α = velikost momentové plochy dělená tuhostí v ohybu.

ClearAll[(Subscript[F, 2]),l]

(Subscript[F, 2])=6500;l=1500

NSolve[Mo==(Subscript[F, 2])*(l/2),Mo]

(Subscript[Momax, 2]) = 4,(875.10^6) N.mm

ad 2-2: Výpočet (Subscript[S, M2])

Mo=4.875*(10^6);l=1500

Solve[(Subscript[S, M2])==((Mo*l/2)/2),(Subscript[S, M2])]//N

Velikost (Subscript[S, M2]) je 1,82813 x (10^9)

ad 3-2: Výpočet (Subscript[α, B2]); Dáno:  A = 2,(1.10^5) Mpa, (Subscript[J, x])=14500000 (mm^4)[ST] POZOR !!! tento vykutálený program neumí pracovat s modulem pružnosti v tahu označeným “E”, proto jej nahrazujeme “ “A”

(Subscript[J, x])=14500000;A=2.1 (10^5);(Subscript[S, M2])=1.828125`*^9

NSolve[(Subscript[α, B2])==((Subscript[S, M2])/(A*(Subscript[J, x]))),(Subscript[α, B2])]

Úhel natočení (Subscript[α, B1]) má hodnotu: + 0,000600369 radiánů.

ad 4 -2: Výpočet průhybu (Subscript[y, B2])
průhyb stanovíme podle poučky: y = úhel natočení krát vzdálenost těžiště momentové plochy k místu kde nás průhyb zajímá.

ClearAll[l]

l=1500

1500

NSolve[(Subscript[x, T])==(l/2) +(2/3)*(l/2),(Subscript[x, T])]

(Subscript[x, T2])=1250;(Subscript[α, B2])=0.0006003694581280789`

Solve[{(Subscript[y, B2])==(Subscript[x, T2])*(Subscript[α, B2])},{(Subscript[y, B2])}]//N

Průhyb (Subscript[y, B2])= +0,750462 mm

ad .3 : Výpočet celkového úhlu natočení

ClearAll[(Subscript[α, B1]),(Subscript[α, B2])]

(Subscript[α, B1])= -0.0006465517241379311`;(Subscript[α, B2])=0.0006003694581280789`

Solve[{(Subscript[α, BC])==(Subscript[α, B1])+(Subscript[α, B2])},{(Subscript[α, BC])}]//N

{{(Subscript[α, BC])->-0.00004618226600985225`}}

Celkový úhel natočení jde nahoru je tedy mínus a jeho hodnota je:0,0000461823 radiánu.

ad. 4 : Výpočet celkového průhybu

(Subscript[y, B1])=-0.4849137931034483`;(Subscript[y, B2])=0.7504618226600986`

NSolve[(Subscript[y, BC])==(Subscript[y, B1])+(Subscript[y, B2]),(Subscript[y, BC])]

{{(Subscript[y, BC])->0.26554802955665036`}}

Celkový průhyb nosníku zatíženého dvěma osamělými silami je 0,265548 mm.

Závěr:
Podle výsledků vidíme, že se celkový průhyb nosníku směřuje dolů - je tedy kladný. Do jeho hodnoty není započítán průhyb způsobený vlastní vahou nosníku / spojitým zatížením /. Skutečný průhyb nosníku by tedy byl daleko větší.

Příklad k procvičení:
Vypočtěte úhel natočení průhyb nosníku v bodě “B”, podle obrázku. Nosník ocelový, obdélníkového průřezu o stranách h = 80mm; b = 35 mm; F1= 200 N, F2 = 150 N; a = 1 m

Zdroje

Mechanika II Pružnost & pevnost L.Mrňák- A.Drdla SNTL Praha 1978
Strojnické tabulky Vávra a kol.