({{Číslo projektu, CZ.1.07/1.1.36/02.0066}, {Autor, Pavel Florík}, {Předmět, Mechanika}, {Téma, Deformace nosníků při ohybu}, {Metodický pokyn, výkladový text s ukázkami}})

Deformace nosníků při ohybu. 

Příklad č.1
Dva trámy obdélníkového průřezu z rozdílných materiálů jsou zatíženy silou F = 3500 N. Zajímá nás, jak je velký průhyb  pod silou F , je-li strana b u obou trámů stejná a její velikost je: 100 mm tzn. 2 (Subscript[h, 1]). Poměr (Subscript[h, 1 ]): (Subscript[h, 2]) = 1:3 . Nosník č. 1  i č.2 je ocelový (Subscript[E, 1])= 2,1 ((.10)^5) Mpa.  Délka  nosníků : l = 1 m

Rozbor řešení:
 Tento příklad je svým zadáním mírný chyták. Pro řešení je nutno si představit , že se jedná o dva smostatné nosníky zatížené silami (Subscript[F, 1]) a (Subscript[F, 2]); přičemž každá působí na každý nosník zvlášť. Vlivem nestejných tuhostí v ohybu budou síly  (Subscript[F, 1]) a (Subscript[F, 2]) rozdílné velikosti. Platí ovšem, že  (Subscript[F, 1]) + (Subscript[F, 2]) = F. Dále je nutné si uvědomit, že  průhyby trámů jsou stejné, tedy: (Subscript[y, 1]) = (Subscript[y, 2])

Řešení:
1. z podmínky (Subscript[y, 1]) = (Subscript[y, 2]) určíme velikost síly (Subscript[F, 2])
2. z podmínky (Subscript[F, 1]) + (Subscript[F, 2]) = F vypočteme velikost (Subscript[F, 1])
3. Protože celkový průhyb y =  (Subscript[y, 1]) = (Subscript[y, 2])  dosazením  do vzorce pro průhyb vetknutého nosníku vypočteme celkový
    průhyb y.

ad. 1 :Při  výpočtu vycházíme z celkového průhybu : y=(Subscript[y, 1]) = (Subscript[y, 2])  a  z rovnováhy sil : F= (Subscript[F, 1]) + (Subscript[F, 2

])
Pro vetknutý nosník zatížený jednou silou na konci platí velikost průhybu : y=((F. (l^3))/(3E. J));  kvadratický moment obdélníkového průřezu je : J = ((b.(h^3))/12)
protože se průhyby rovnají, můžeme z této rovnice po dosazení za (Subscript[J, 1])  a  (Subscript[J, 2])vypočíst velikost síly  (Subscript[F, 2]):

Solve [{(Subscript[F, 1 ])((l^3)/(3 k((b ((Subscript[h, 1])^3))/12))) == (Subscript[F, 2 ])((l^3)/(3 k((b ((Subscript[h, 2])^3))/12)))},(Subscript[F, 2])]

Protože (Subscript[h, 1 ])= (Subscript[h, 2])/3 dostaneme po dosazení:

ClearAll[(Subscript[h, 1,])(Subscript[h, 2])]

(Subscript[h, 1])=((Subscript[h, 2])/3)

Solve [{(Subscript[F, 1 ])((l^3)/(3 k((b ((Subscript[h, 1])^3))/12))) == (Subscript[F, 2 ])((l^3)/(3 k((b ((Subscript[h, 2])^3))/12)))},(Subscript[F, 2])]

{{(Subscript[F, 2])->27 (Subscript[F, 1])}}

ClearAll[(Subscript[F, 1]),(Subscript[F, 2])]

(Subscript[F, 2])=27(Subscript[F, 1])

ad. 2:  Výpočet sil:

(Subscript[F, 2])=((27F)/28);F=6000

NSolve[{F==(Subscript[F, 1])+(Subscript[F, 2])},{(Subscript[F, 1])}]

{{(Subscript[F, 1])->(F/28)}}; Výsledná síla (Subscript[F, 1])je 214,286 N, (Subscript[F, 2])=5785,7141 N neboli((Subscript[F, 2])=((27F)/28))

ad.3 : Nyní můžeme vypočítat průhyb nosníků ”y”

(Subscript[y, 1]) = (Subscript[y, 2])

(((Subscript[F, 1]).(l^3))/(3(Subscript[E, 1]).(Subscript[J, 1])))=(((Subscript[F, 2]).(l^3))/(3 (Subscript[E, 2]).(Subscript[J, 2]))) ;    (Subscript[J, 1])=((b.((Subscript[h, 1])^3))/12);  (Subscript[J, 2])=((b.((Subscript[h, 2])^3))/12)

(Subscript[h, 2])=150;b=100;k=2.1*(10^5);(Subscript[F, 2])=5785.7141;l=1000;

NSolve[{y==((12*(Subscript[F, 2 ])*(l^3))/(3*k* b*((Subscript[h, 2])^3)))},{y}]

Celkový průhyb obou trámů je : y = 0, 3265 mm

Závěr:
Podle výsledků vidíme, že se celkový průhyb nosníků nepočítal jinak, než jak bychom počítali vetknuté nosníky zatížené jednou osamělou silou. Tak, jak jsme už byli zvyklí. Hlavně se nenechte vyděsit zadáním, často je řešení jednodušší, než to vypadá.

Příklad k procvičení:
Vypočtěte úhel natočení a průhyb nosníku v bodě “B”, podle obrázku. Nosník ocelový, obdélníkového průřezu o stranách h = 60mm;     b= 35 mm; M1= 200 N.m, M2 = 150 N.m; a = 0,5 m

Zdroje

Mechanika II Pružnost & pevnost L.Mrňák- A.Drdla SNTL Praha 1977
Strojnické tabulky Vávra a kol.