({{Číslo projektu, CZ.1.07/1.1.36/02.0066}, {Autor, Markéta Šímová}, {Předmět, Aplikovaná matematika}, {Téma, Logaritmická funkce}, {Metodický pokyn, výkladový text s ukázkami}})

Logaritmická funkce

Logaritmická funkce je dána předpisem f: y = (Subscript[log, a]) x

- je inverzní k exponenciální funkci, je prostá 


 ⟶ definiční obor exponenciální funkce = obor hodnot logaritmické funkce  
                                                              ( D(exp) = H(log) = R)
 ⟶ obor hodnot exponenciální funkce = definiční obor logaritmické funkce
                                                              ( H(exp) = D(log) = (0,∞) )

Graf funkce y = (Subscript[log , 2]) x   je inverzní ke grafu funkce y = (2^x) 

  (oba grafy jsou souměrné podle přímky y = x )       

                                                  Všechny zmíněné funkce jsou zobrazeny v následujícím grafu:

Plot[{x,Log[2,x],(2^x)},{x,-5,5},PlotLegends->{"y = x","y = \!\(\*SubscriptBox[\(log\), \(\(\\ \)\(2\)\)]\)x","y = (2^x)"},ImageSize->500, PlotRange->{-5,5},AspectRatio->1]

Graf funkce y = (Subscript[log , (1/2)]) x   je inverzní ke grafu funkce y = ((((1/2)))^x) 
  (oba grafy jsou souměrné podle přímky y = x )                       
              
                         Všechny zmíněné funkce jsou zobrazeny v následujícím grafu:

Plot[{x,Log[(1/2),x],((((1/2)))^x)},{x,-5,5},PlotLegends->{"y = x","y = \!\(\*SubscriptBox[\(log\), \(\(\\ \)\*FractionBox[\(1\), \(2\)]\)]\)x","y = ((1/2))^x"},  ImageSize->500,PlotRange->{-5,5},AspectRatio->1]

Význam základu logaritmické funkce:

Manipulate[Plot[Log[a,x],{x,.1,10},PlotRange->{-10,10},AxesLabel->{"x","y"}],{{a,2},.1,5}]

Závěr:
pro a∈(0,1) je graf logaritmické funkce klesající
pro a∈(1,∞) je graf logaritmické funkce rostoucí

Příklad 1:
Sestrojte graf funkce f: y = (Subscript[log, 4])x

Plot[Log[4,x],{x,0,10}]

Příklad 2:
Sestrojte graf funkce f: y = (Subscript[log, (1/4)])x

Plot[Log[(1/4),x],{x,0,10}]

Oba přechozí grafy jsou potvrzením předchozích závěrů.

Příklad 3:
Do jedné soustavy souřadnic zobrazte několik grafů logaritmických funkcí o různých základech. Co je pro všechny grafy společné?

Plot[{Log[2,x],Log[4,x],Log[(1/2),x],Log[(1/4),x]},{x,0,5},PlotLegends->{"y = \!\(\*SubscriptBox[\(log\), \(\(\\ \)\(2\)\)]\)x","y = (Subscript[log, 4])x","y = \!\(\*SubscriptBox[\(log\), FractionBox[\(\(\\ \)\(1\)\), \(2\)]]\)x","y = \!\(\*SubscriptBox[\(log\), FractionBox[\(\(\\ \)\(1\)\), \(4\)]]\)x"},AspectRatio->1]

Závěr: Grafy všech logaritmických funkcí procházejí bodem [0,1].

Sbírka úloh:

1. Narýsujte graf funkce y = (Subscript[log, 5])x
2. Narýsujte graf funkce y = (Subscript[log, √2])x
3. Narýsujte graf funkce y = (Subscript[log, (2/3)])x
4. Narýsujte graf funkce y = (Subscript[log, (1/3)])x
5. Narýsujte graf funkce y = (Subscript[log, e])x (  y = (Subscript[log, e])x ⟺ y = lnx ..... přirozený logaritmus). K jaké funkci je inverzní? Pokuste se znázornit obě do jednoho grafu.

Zdroje:
Polák, J.: Středoškolská matematika v úlohách I. Prometheus, Praha, 2006. IBSN 80-7196-337-2