Vícerozměrné řazení

Zadání
Soustava vyššího řádu je vytvořena z několika bloků nižšího řádu, jak je patrno z obrázku. Odvoďte  výsledný přenos soustavy vyššího řádu popisující dané systémy, jestliže přenosy jednotlivých bloků jsou Gwe , Gwu , Gwy , Gve , Gvu , Gvy , Gy0e , Gy0u , Gy0y :

Kde:
w(t) je řídicí veličina, ur(t) je výstup regulátoru, u(t) je akční veličina, v(t) je porucha, y0(t) je počáteční hodnota regulované veličiny, ys(t) je výstup regulované soustavy a y(t) je regulovaná veličina. 
Gr  je přenos regulátoru nebo korektoru, Gs  je přenos regulované soustavy.

Úkoly

1.	Připravte referát.  
2.	Odvoďte pro obrazové přenosy Gwe , Gwu , Gwy , Gve , Gvu , Gvy , Gy0e , Gy0u , Gy0y přenosovou matici výsledného systému G dle obrázku:
	a.	uveďte obecnou definici obrazového přenosu, frekvenčního přenosu a přenosové matice, 
	b.	určete vstupy a výstupy rozdílových členů a bloků Gr, Gs a G
	c.	napište vztah mezi vstupem a výstupem rozdílových členů,
	d.	napište vztah mezi vstupem a výstupem pro každý blok Gr, Gs a G,
	e.	sestavte přenosovou matici G a napište vztah mezi vstupy a výstupy výsledného systému.

3.	Ověřte výsledky vícerozměrného řazení z bodu 2), podle potřeby si vyžádejte pomoc od učitele
	a.	v prostředí softwaru Wolfram-Mathematica otevřete soubor typu .nb (notebook) a nazvěte jej VicerozRaSy _jmeno_trida_datum
	b.	seznamte s příkazovými řádky  TransferFunctionModel , TransferFunctionExpand a SystemsModelFeedbackConnect a jejich použití,
	c.	Vytvořte funkční model pomocí příkazových řádků : “ TransferFunctionModel “,  “TransferFunctionExpand “ a “SystemsModelFeedbackConnect”.
4.	Na základě funkčního modelu z bodu 3) určete rozměr výsledné soustavy G.

Závěr

do závěru se uvede porovnávání  vlastnosti rozvětného a vícerozměrného řazení bloků a zejména  jejích použití v průmyslové regulaci.

-------------------------------------

1-Příprava referátu - vyplněte hlavičku referátu (viz formulář).

2- Odvození obrazového přenosu soustavy vyššího řádu G dle obrázku
a-Obecná definice přenosové funkce
Přenosová funkce G je matematické vyjádření relace mezi vstupem lineárního systému u(t) a jeho výstupem y(t). Může být jednorozměný systém ( 1 vstup a 1 výstup) nebo vícerozměrný (několik vstupů a výstupů). Jsou znáné dva druhy přenosových funkcí obrazový a frekvenční přenos
	- obrazový přenos : podíl Laplaceova obrazu Y(s) výstupního signálu y(t) k L-obrazu vstupního U(s) signálu u(t) při nulových počátečních podmínkách. L-obrazy získáme z originálů 
	Laplaceovou 	transformací.
	
					G(s) = ((Y(s))/(U(s))), 			kde s ≡ (d/dt)	je operátor derivace
	
	- frekvenčný přenos : podíl Fourierova obrazu Y(jω) výstupního signálu y(t) k F-obrazu U(jω) vstupního signálu u(t) při nulových počátečních podmínkách. Frekvenční přenos lze 	
	formálně určit z obrazového přenosu dosazením s ≡ jω
	
						G( jω) = ((Y(jω))/(U(jω))), 			kde j komlexní operátor  a  ω krůhová frekvence

b, c, d, e-vstupy a výstupy bloků Gr, Gs,  a sumátorů

- Blok Gr má
		  jeden vstup, ten je označen v časové oblasti e(t). Jeho vyjádření v oblasti algebraické  je E(s) tj. L-obraz e(t)
		  jeden výstup, ten je označen v časové oblasti u(t). Jeho vyjádření v oblasti algebraické  je U(s) tj. L-obraz u(t)

Relace mezi vstupem a výstupem bude:
				
				u(t) =  Gr * e(t)

- Blok Gs má
		  jeden vstup, ten je označen v časové oblasti u(t). Jeho vyjádření v oblasti algebraické  je U(s) tj. L-obraz u(t)
		  jeden výstup, ten je označen v časové oblasti (Subscript[y, s])(t). Jeho vyjádření v oblasti algebraické  je (Subscript[Y, s])(s) tj. L-obraz (Subscript[y, s])(t)

Relace mezi vstupem a výstupem bude:
				
				(Subscript[y, s])(t) =  Gs * u(t)

- Výsledný blok G má
		 3 vstupy, w(t),  v(t) a y(0) respektive žádaná veličina, porucha a počátečná hodnota výstupní veličiny
		 3 výstupy, y(t), e(t) u(t) respektive výstupní veličiny, odchylka a akční veličina

Relace mezi vstupem a výstupem bude vektorová:
				
				(({{({{y}, {e}})}, {u}})) =  (({{({{(Subscript[G, wy])}, {(Subscript[G, we])}}), ({{({{(Subscript[G, vy]), (Subscript[G, (Subscript[y, 0])y])}})}, {({{(Subscript[G, ve]), (Subscript[G, (Subscript[y, 0])e])}})}})}, {(Subscript[G, wu]), ({{(Subscript[G, vu]), (Subscript[G, (Subscript[y, 0])u])}})}})) * (({{({{w}, {v}})}, {(Subscript[y, 0])}}))
				
				kde:
				(({{({{y}, {e}})}, {u}})) 	je vektor výstupů

(({{({{w}, {v}})}, {(Subscript[y, 0])}}))   je vektor vstupů
				(({{({{(Subscript[G, wy])}, {(Subscript[G, we])}}), ({{({{(Subscript[G, vy]), (Subscript[G, (Subscript[y, 0])y])}})}, {({{(Subscript[G, ve]), (Subscript[G, (Subscript[y, 0])e])}})}})}, {(Subscript[G, wu]), ({{(Subscript[G, vu]), (Subscript[G, (Subscript[y, 0])u])}})}}))   je přenosová matice

- Sumátor e(t) má
		dva vstupy w(t) a y(t)
		jeden výstup e(t)

Relace mezi vstupy a výstupem bude:
				
				e(t) =  w(t) - y(t), 		přenos sumátoru je vždycky 1

- Sumátor u(t) má
		dva vstupy (Subscript[u, r])(t) a v(t) respektive výstup regulátoru a porucha 
		jeden výstup u(t) tj. akční veličina

Relace mezi vstupy a výstupem bude:
				
				u(t) =  (Subscript[u, r])(t) - v(t), 		přenos sumátoru je vždycky 1

- Sumátor y(t) má
		dva vstupy (Subscript[y, s])(t) a y(0) repektive výstup regulované soustavy a počáteční honota
		jeden výstup y(t) tj. úpravený výstup regulované soustavy

Relace mezi vstupy a výstupem bude:
				
				y(t) =  (Subscript[y, s])(t) + y(0), 		přenos sumátoru je vždycky 1

3-Ověření výsledeků vícerozměrného řazení

a- Tvorba souboru typu notebook

v prostředí Wolfram-mathematica - hlavní menu postupně klepněte levým tlačíttkem myši na:
	
			File -> New -> Notebook (.nb) nebo ctrl+N
	
	objeví se prázdný soubor s názvem “ untitled-číslo”

uložte jej pod názvem “VicerozmRazeni _jmeno_trida_datum”

b- seznámení se s jednotlivými příkazovými řádky
	v prostředí Wolfram-mathematica - hlavní menu postupně klepněte levým tlačíttkem myši na:
	
		Help ->Documentation Centre
	
	objeví se  podmenu

Do prázdného pole napište jednotlivé příkazové řádky a postupně prostudujte způsob  jejích použití

c- Tvorba funkčního modelu pomocí příkazových řádků

Funkční model výsledné soustavy G (přenosovou matici) dostaneme následujícím příkazovým řádkem

G=TransferFunctionModel[{{Gwy,Gvy,Gy0y }, {Gwu,Gvu,Gy0u },{Gwe,Gve,Gy0e}},s]

(TransferFunctionModel[Gwy, Gvy, Gy0y, Gwu, Gvu, Gy0u, Gwe, Gve, Gy0e, ])

K výpočtu přenosů využijeme Masonovo pravidlo. Funkční model soustavy G v závislosti na Gr a Gs bude

G=TransferFunctionModel[{{(GrGs/(1+GrGs)),(1/(1+GrGs)),((-Gs)/(1+GrGs)) }, {(1/(1+GrGs)),((-1)/(1+GrGs)),(Gs/(1+GrGs)) },{(Gr/(1+GrGs)),((-Gr)/(1+GrGs)),((-1)/(1+GrGs))}},s]

4- Dimenze (rozměr) a řád výsledné soustavy G

Výsledná soustava je vícerozměroná a má rozměr 3x3 tj. 3 vstupy a 3 výstup. 
	Řád výsledné soustavy je dán řadem dílčích přenosů Gwe , Gwu , Gwy , Gve , Gvu , Gvy , Gy0e , Gy0u , Gy0y.

Rozměr (tj. počet vstupů a výstupů) výsledné soustavy dostaneme následujícím příkazovým řádkem

SystemsModelDimensions[G]

Závěr

Zdroje
		
		-Interní studijní materiál školy a firemní dokumentace software Wolfram-Mathematica.
		-http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/TransferFunctionPoles.html?q=TransferFunctionPoles&lang=en
		-http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/TransferFunctionZeros.html?q=TransferFunctionZeros&lang=en
		-http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/TransferFunctionFactor.html?q=TransferFunctionFactor&lang=en
		-http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/TransferFunctionModel.html?q=TransferFunctionModel&lang=en
		-http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/TransferFunctionExpand.html?q=TransferFunctionExpand&lang=en
		
Materiál je určen pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. 
Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.

Neocitovaná autorská díla jsou dílem autora.
Neocitované obrázky jsou součástí prostředků výukového software Microsoft office 2007.