Semiparalelní řazení systémů s jedním vstupem

Zadání
Soustava vyššího řádu je vytvořena z několika bloků nižšího řádu, jak je patrno z obrázku. Odvoďte  výsledný přenos soustavy vyššího řádu popisující dané systémy, jestliže přenosy jednotlivých bloků jsou:

(Subscript[G, 1])(s)=(Subscript[K, 1])(Subscript[,    G, 2])(s)=((Subscript[K, 2])/(1+(Subscript[T, 2])*s))  (Subscript[,    G, 3])(s)=((Subscript[K, 3])/(1+(Subscript[T, 3])*s)), (Subscript[ G, 4])(s)=(Subscript[K, 4])

(Subscript[G, 1])(s)=0,2(Subscript[,    G, 2])(s)=((0,5)/(1+20*s))  (Subscript[,    G, 3])(s)=((0,3)/(1+10*s)), (Subscript[ G, 4])(s)=0,4

Úkoly

1.	Připravte referát.  
2.	Odvoďte  výslednou přenosovou matici soustavy vyššího řádu G dle obrázku  
		a.	uveďte definici obrazového přenosu a frekvenčního přenosu,
		b.	určete vstupy a výstupy bloků G2 , a G3,
		c.	napište vztah mezi vstupem a výstupem pro blok G2,
		d.	napište vztah mezi vstupem a výstupem pro blok G3,
		e.	na základě obou vztahů z bodu c) a d)  odvoďte vztah mezi vstupem a výstupy výsledné soustavy G.
		f.	spočítejte  přenosovou matici výsledné soustavy G .

3.	Ověřte výsledek z bodu 2) v prostředí softwaru Wolfram-Mathematica (WM) , podle potřeby si vyžádejte pomoc od učitele
		a.	v prostředí softwaru WM otevřete soubor typu .nb (notebook) a nazvěte jej “JeRoz_SePaRaJeVs 
			_jmeno_trida_datum”,
		b.	seznamte se s příkazovými řádky  “TransferFunctionModel”, “TransferFunctionExpand”,  “ TransferFunctionModel “ 
			a “TransferFunctionExpand “ a jejich využití,
		c.	Vytvořte funkční model pomocí příkazových řádků : “ TransferFunctionModel a “SystemsModelFeedbackConnect”.
4.	Na základě funkčního modelu z bodu 3) určete řád soustav G2, G3 a výsledné soustavy G.

Závěr

do závěru se uvede porovnávání  vlastnosti antiparalelního řazení bloků s kladnou zpětnou a se zápornou vazbou a zejména  jejích použití v průmyslové regulaci..

-------------------------------------

1-Příprava referátu - vyplněte hlavičku referátu (viz formalář).

2-Odvození výsledného obrazového přenosu U(s)/E(s) soustavy vyššího řádu G

a-Obecná definice přenosové funkce
Přenosová funkce G je matematické vyjádření relace mezi vstupem lineárního systému u(t) a jeho výstupem y(t). Může být jednorozměný systém ( 1 vstup a 1 výstup) nebo vícerozměrný (několik vstupů a výstupů). Jsou znáné dva druhy přenosových funkcí obrazový a frekvenční přenos
	- obrazový přenos : podíl Laplaceova obrazu Y(s) výstupního signálu y(t) k L-obrazu vstupního U(s) signálu u(t) při nulových počátečních podmínkách. L-obrazy získáme z originálů 
	Laplaceovou 	transformací.
	
					G(s) = ((Y(s))/(U(s))), 			kde s ≡ (d/dt)	je operátor derivace
	
	- frekvenčný přenos : podíl Fourierova obrazu Y(jω) výstupního signálu y(t) k F-obrazu U(jω) vstupního signálu u(t) při nulových počátečních podmínkách. Frekvenční přenos lze 	
	formálně určit z obrazového přenosu dosazením s ≡ jω
	
						G( jω) = ((Y(jω))/(U(jω))), 			kde j komlexní operátor  a  ω krůhová frekvence

b-vstupy a výstupy bloků G2,  G3 a uzel

- Blok G2 má
		  jeden vstup, ten je označen v časové oblasti (Subscript[u, 1])(t). Jeho vyjádření v oblasti algebraické  je (Subscript[U, 1])(s) tj. L-obraz (Subscript[u, 1])(t)
		  jeden výstup, ten je označen v časové oblasti (Subscript[y, 1])(t). Jeho vyjádření v oblasti algebraické  je (Subscript[Y, 1])(s) tj. L-obraz (Subscript[y, 1])(t)

- Blok G3 má
		  jeden vstup, ten je označen v časové oblasti (Subscript[u, 2])(t). Jeho vyjádření v oblasti algebraické  je (Subscript[U, 2])(s) tj. L-obraz (Subscript[u, 2])(t)
		  jeden výstup, ten je označen v časové oblasti (Subscript[y, 2])(t). Jeho vyjádření v oblasti algebraické  je (Subscript[Y, 2])(s) tj. L-obraz (Subscript[y, 2])(t)

-Blok uzel má
		1 výstup, který je označen v časové oblasti u(t). 2 výstupy, které jsou označené v časové oblasti  (Subscript[u, 1])(t) a (Subscript[u, 2])(t).

c, d-Relace mezi vstupem a výstupem bloků G2, G3 a uzel

(Subscript[G2,  ]): (Subscript[Y, 1])(s) = G2(s) *(Subscript[U, 1]) (s) 
			(Subscript[G3,  ]): (Subscript[Y, 2])(s) = G3(s) * (Subscript[U, 2]) (s) 
		uzel:  U(s) = (Subscript[U, 1])(s) = (Subscript[U, 2])(s)	
			
	Dílčí přenosy G2 a G3 dostaneme za předpokladu nulových počátečních podmínek		
		(((Subscript[Y, 1])(s))/((Subscript[U, 1]) (s))) = (((Subscript[Y, 1])(s))/(U (s))) = G2(s),  (((Subscript[Y, 2])(s))/((Subscript[U, 2]) (s))) = (((Subscript[Y, 2])(s))/(U (s))) = G3(s)

e- Relace mezi vstupem a výstupem výsledné soustavy G

(({{(Subscript[y, 1])}, {(Subscript[y, 2])}})) = G(s) *U(s) = (({{G2}, {G3}}))U 			kde - G(s)  je výsledná  přenosová matice

f- Výpočet přenosových funkcí výsledného systému G

za předpoldu nulových počátečných podmínek spočítáme dílčí přenosové funkce výsledné soustavy G(s)  

		G2(s) =  (((Subscript[Y, 1])(s))/(U(s))) =  (k2/(1+T2*s)),  	
		
		G3(s) = (((Subscript[Y, 2])(s))/(U (s))) =   (k3/(1+T3*s)),

3-Tvorba souboru typu .nb (notebook) a seznámení se s příkazovými řádky

a- Tvorba souboru typu notebook

v prostředí Wolfram-mathematica - hlavní menu postupně klepněte levým tlačíttkem myši na:
	
			File -> New -> Notebook (.nb) nebo ctrl+N
	
	objeví se prázdný soubor s názvem “ untitled-číslo”

uložte jej pod názvem “JeRoz_SePaRaJeVs _jmeno_trida_datum”

b- seznámení se s jednotlivými příkazovými řádky
	v prostředí Wolfram-mathematica - hlavní menu postupně klepněte levým tlačíttkem myši na:
	
		Help ->Documentation Centre
	
	objeví se  podmenu

Do prázdného pole napište jednotlivé příkazové řádky a postupne prostudujte způsob  jejích použití

Funkční model obrazového přenosu G2 dostaneme následujícím příkazovým řádkem

G2=TransferFunctionModel[{{(k2/(1+T2*s)) }},s]

Funkční model obrazového přenosu G3 dostaneme následujícím příkazovým řádkem

G3=TransferFunctionModel[{{(k3/(1+T3*s)) }},s]

Funkční model výsledného obrazového přenosu G můžeme dostat jedným příkazovým řádkem

G=TransferFunctionModel[{{(k2/(1+T2*s)),(k3/(1+T3*s))}},s]

Funkční model výsledné přenosové funkce vytvořime také jako funkci parametrů k2,k3, a T2,T3

Prenos[k2_,k3_,T2_,T3_]:=TransferFunctionModel[{{(k2/(1+T2*s)),(k3/(1+T3*s))}},s]

Pro dané hodnoty k2=0.5, k3=0.3, T2=20, T3=10  můžeme vyjádřit přenosovou funkci jako běžnou funkci s názvem “ Prenos”. 
	Výsledek je následující funkční model reálné struktury

GG=Prenos[0.5,0.3,20,10]

Zjednodušený obecný  tvar(zjednodušene struktury) dostaneme následujícím příkazovým řádkem

TransferFunctionCancel[GG]

5- Řád soustavy G2, G3 a výsledné soustavy G

Řád soustavy G2 určuje stupeň polynomu ve jmenovateli přenosové funkce G2, tedy je1
	Řád soustavy G3 určuje stupeň polynomu ve jmenovateli přenosové funkce G3, tedy je 1
	Řád výsledné soustavy G určuje nejvyšší řád jeho podsystémů, tedy je 1

Závěr

Zdroje
		
		-Interní studijní materiál školy a firemní dokumentace software Wolfram-Mathematica.
		-http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/TransferFunctionPoles.html?q=TransferFunctionPoles&lang=en
		-http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/TransferFunctionZeros.html?q=TransferFunctionZeros&lang=en
		-http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/TransferFunctionFactor.html?q=TransferFunctionFactor&lang=en
		-http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/TransferFunctionModel.html?q=TransferFunctionModel&lang=en
		-http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/TransferFunctionExpand.html?q=TransferFunctionExpand&lang=en
		
Materiál je určen pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. 
Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.

Neocitovaná autorská díla jsou dílem autora.
Neocitované obrázky jsou součástí prostředků výukového software Microsoft office 2007.