({{Číslo projektu, CZ.1.07/1.1.36/02.0066}, {Autor, Ladislav Kašpárek}, {Předmět, Programovací metody}, {Téma, Numerické řešení rovnic}, {Metodický pokyn, výkladový text s ukázkami, experimentální dokument pro žáky}})

Goniometrické řešení kvadratické rovnice

Zde ukážeme zajímavý přístup k řešení kvadratické rovnice. Jedná se o neobvyklý postup se zajímavým matematickým pohledem na věc. Motivem pro vznik této metody bylo (asi hodně dávno) eliminace odmocnin při řešení kvadratické rovnice a jejich nahrazení funkcemi goniometrickými, které se údajně lépe vyhledávaly v M/F tabulkách. Z toho je zřejmé, že se jedná o archaickou metodu. Její studium všek může žákovi rozšířit matematický obzor.

Klasické řešení kvadratické rovnice

Vzorec pro řešení rovnice ve tvaru: a (x^2)+ b x +c=0 všichni dobře známe:

Solve[a (x^2)+b x +c==0,x]

Kde výraz pod odmocninou nazýváme diskriminant a ten rozhoduje o typu kořenů (dva reálné, násobný, komplexní – vyslov všechny vlastnosti).

Pozn: pokud je a=1, pak se rovnice nazývá normovaná. Normalizace rovnice nijak neovlivňuje její kořeny.

Výklad a důkaz goniometrického řešení

Následující postum jsem objevil v knize: Šisler M., Andrys J.: O řešení algebraických rovnic, ÚV matematické olympiády, Mladá fronta, Praha 1966. Výklad uvedeme celý, na závěr jej shrneme a okomentujeme. POZOR: jedná se precizní matematický text, kde autor používá i vlastní nestandardní symboliku. Ve shrnutí použijeme vlastní, aby nás nemátla.

Jsem rád, že jste na toto místo dočetli a dostudovali se, nikoliv přeskočili : -) V následujícím textu pouze shrneme získané poznatky už bez důkazů a použijeme odlišnou, snad přehlednější symboliku.

Klíčový je výraz (42), který  nešťastně používá symboly a, b, které jsou v konfliktu s rovnicí a tradičním značení z úvodu tohoto materiálu. Proto pro další text volme označení:

({{({{(x^2)±2 R x ± (S^2)=0}})}})

Symboly R, S jsou natolik odlišné od tradičního značení koeficientů kvadratické rovnice, že nemůže dojít k záměně. Podmínka reálného řešení tedy zní pro případ I (u (S^2) je znaménko minus):

({{D=({{(((2R))^2)+4(S^2)=4(R^2)+4(S^2)=4((R^2)+(S^2))>0}})}})

Toto však platí vždy!

Případ II (u (S^2) je znaménko plus):

({{D=(((2R))^2)-4(S^2)=4(R^2)-4(S^2)=4((R^2)-(S^2))>0}})

({{({{tedy R>S}})}})

Příklady : Urči zda rovnice (x^2)+6x-25=0 má reálné kořeny.
Řešení: upravme rovnici na tvar (42): (x^2)+2 3x-(5^2)=0, tedy R=3, S=5, jde o typ I, řešení existuje (experimentálně ověř pomocí Solve).

Příklady : Urči zda rovnice (x^2)+6x+25=0 má reálné kořeny.
Řešení: upravme rovnici na tvar (42): (x^2)+2 3x+(5^2)=0, tedy R=3, S=5, jde o typ II, řešení NEexistuje (experimentálně ověř pomocí Solve).

Příklady : Urči zda rovnice (x^2)+18x+25=0 má reálné kořeny.
Řešení: upravme rovnici na tvar (42): (x^2)+2 9x+(5^2)=0, tedy R=9, S=5, jde o typ II, řešení existuje (experimentálně ověř pomocí Solve).

Tabulka typů a řešení kvadratické rovnice

Sestavme tabulku všech čtyř typů rovnice ve tvaru (42) a jejich řešení, pozn R>0,S>0, 0<2ϕ<2π:

({{typ, rovnice, kořeny, vztah pro ϕ}, {Ia, (x^2)-2R x-(S^2)=0, (Subscript[x, 1])=S cotg ϕ, (Subscript[x, 2])=-S tg ϕ, (S/R)=tg (2ϕ),ϕ=((arctan(S/R))/2)}, {Ib, (x^2)+2R x-(S^2)=0, (Subscript[x, 1])=S tg ϕ, (Subscript[x, 2])=-S cotg ϕ, (S/R)=tg (2ϕ),ϕ=((arctan(S/R))/2)}, {IIa, (x^2)-2R x+(S^2)=0, (Subscript[x, 1])=S cotg ϕ, (Subscript[x, 2])=S tg ϕ, (S/R)=sin (2ϕ),ϕ=((arcsin(S/R))/2)}, {IIb, (x^2)+2R x+(S^2)=0, (Subscript[x, 1])=-S tg ϕ, (Subscript[x, 2])=-S cotg ϕ, (S/R)=sin (2ϕ),ϕ=((arcsin(S/R))/2)}})

Příklad pro případ Ia

Řešte rovnici: (x^2)-50x-36=0. Klasické řešení a numerické řešení:

Solve[(x^2)-50x-36==0,x]

NSolve[(x^2)-50x-36==0,x]

Goniometrické řešení: R=25, S=6. Vyčíslíme ϕ:

phi=((ArcTan[6/25])/2)//N

(Subscript[x, 1])=6 Cot[phi]

(Subscript[x, 2])=-6 Tan[phi]

Příklad pro případ Ib

Řešte rovnici: (x^2)+12x-81=0. Klasické řešení a numerické řešení:

Solve[(x^2)+12x-81==0,x]

NSolve[(x^2)+12x-81==0,x]

Goniometrické řešení: R=6, S=9. Vyčíslíme ϕ:

phi=((ArcTan[9/6])/2)//N

(Subscript[x, 1])=9 Tan[phi]

(Subscript[x, 2])=-9 Cot[phi]

Příklad pro případ IIa

Řešte rovnici: (x^2)-120x+100=0. Klasické řešení a numerické řešení:

Solve[(x^2)-120x+100==0,x]

NSolve[(x^2)-120x+100==0,x]

Goniometrické řešení: R=60, S=10. Vyčíslíme ϕ:

phi=((ArcSin[10/60])/2)//N

(Subscript[x, 1])=10 Cot[phi]

(Subscript[x, 2])=10 Tan[phi]

Příklad pro případ IIb

Řešte rovnici: (x^2)+68x+4=0. Klasické řešení a numerické řešení:

Solve[(x^2)+68x+4==0,x]

NSolve[(x^2)+68x+4==0,x]

Goniometrické řešení: R=34, S=2. Vyčíslíme ϕ:

phi=((ArcSin[2/34])/2)//N

(Subscript[x, 1])=-2 Tan[phi]

(Subscript[x, 2])=-2Cot[phi]

Příklad bez reálného řešení pro případ IIb

Řešte rovnici: (x^2)+8x+400=0. Klasické řešení a numerické řešení:

Solve[(x^2)+8x+400==0,x]

KOMPLEXNÍ KOŘENY!!!

NSolve[(x^2)+8x+400==0,x]

Goniometrické řešení: R=4, S=20. Vyčíslíme ϕ:

phi=((ArcSin[20/4])/2)//N

Argument ArcSin je větší než 1 a to nás varuje, že něco není v pořádku. Ověřme podmínku reálného řešení: R>S a vidíme, že není splněna, tedy rovnice nemá reálné kořeny.

Příklad pro případ Ia (pseudoalgebraické řešení)

Řešte rovnici: (x^2)-50x-36=0. Klasické řešení a numerické řešení:

Solve[(x^2)-50x-36==0,x]

NSolve[(x^2)-50x-36==0,x]

Goniometrické řešení: R=25, S=6. Vyčíslíme ϕ, nikoliv však numericky, ale jen symbolicky:

phi=((ArcTan[6/25])/2)

(Subscript[x, 1])=6 Cot[phi]

(Subscript[x, 2])=-6 Tan[phi]//FullSimplify

Získané výsledky jsou vyjádřeny jen symobicky, žádné “konkrétní” číslo nebylo vypočteno. Takévé výsledky často k ničemu nejsou...

Doporučený postup řešení

Mějme rovnici ve tvaru A (x^2)+B x+C=0

1/ Normalizace: vydělte číslem A, gon. řešení předpokládá normalizovanou.
1a/ dále použijeme tvar rovnice: (x^2)+p x+q=0
2/ Rozhodneme o typu rovnice podle znaménka u q. (je-li minus řešení existuje vždy)
2a/ je-li plus, musíme vyšetřit koeficient p
3/ určíme čísla S a R
3a/ S=(Sqrt[q]), R=(p/2)
4/ dle typu vypočítat ϕ
5/ dle typu dopočítat (Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2])

Příklad: řešte -5(x^2)-13x+10=0

1/ Normalizace: (x^2)+(13/5)x-2=0
2/ typ I, vždy řešení
3/ R=13/10, S=(Sqrt[2])
4/ jedná se o typ Ib, ϕ=((arctan(S/R))/2)

R=13/10

S=(Sqrt[2])

ϕ=((ArcTan[(Sqrt[2])/(13/10)])/2)//N

5/ kořeny

(Subscript[x, 1])=S Tan[ϕ]

(Subscript[x, 2])=-S Cot[ϕ]

Úlohy k procvičení

Všechny předchozí příklady sice pěkně ilustrují 4 případy řešení, ale jsou “uměle” vytvořené, aby dobře vypadaly. To však není reálná situace, proto uvedeme serii příkladů, které budou blíže realitě, zadání už nebude přímo rozlišno do typu, to si musí každý udělat sám. Zařazeny budou i úlohy bez reálného řešení.

Řešte v R rovnici pomocí goniometrických funkcí:
(x^2)+3x-11==0
(x^2)+7x+11==0
(x^2)+3.5x-8==0
(x^2)-(Sqrt[3.5])x-8.1==0
(x^2)+(Sqrt[9.7])x+12.1==0
(x^2)-sin(2)x-9==0
(x^2)+sin(3)x+15.99==0
(x^2)-(1/3)x-tg(3.13)==0
2(x^2)-(11/37)x-360/101==0

Shrnutí

1/ Byla prezentována zajímavá metoda řešení kvadratických rovnic. Její prakcická výhoda snadného řešení pomocí M/F tabulek asi bude zastíněna jejím rozsahem (4 typy rovnic a ke každému typu 3 vzorce a několik mezivýpočtů).
2/ lze však různé metody řešení porovnat z pohledu řešení na papíře, na počítači ap.

Úlohy

1/ Vyřeš rovnici: Log[1/2](x^2)-(81/131)x+(Sqrt[1/5])=0, x∈R algebraicky, graficky, goniomericky.

Zdroje

http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/Solve.html
Šisler M., Andrys J.: O řešení algebraických rovnic, ÚV matematické olympiády, Mladá fronta, Praha 1966.