({{Číslo projektu, CZ.1.07/1.1.36/02.0066}, {Autor, Pavel Florík}, {Předmět, Mechanika}, {Téma, Namáhání součástí na krut}, {Metodický pokyn, výkladový text s ukázkami}})

Výpočet součástí namáhaných na krut.

Výpočet šroubovitých pružin.

Příklad č. 2
V technické praxi se někdy setkáváme s pružinami jejichž průřez není kruhový, ale čtvercový nebo obdélníkový. 
Na následujícím příkladu si ukážeme , jak v takovém případě musíme postupovat.
Teoretický rozbor :
Průřez drátu se vypočte z pevnostní rovnice: Mk = F.R < α (b^2)h (Subscript[τ, dk]). Pozor! Zde je řešení mírně odlišné , protože zkrucujeme nekruhový čtvercový průřez a tudíž neplatí vztahy  pro namáhání kruhového průřezu.
Poté se zvolí poměr h : b ; a rovnici pro prodloužení, či stlačení “y” odvodíme z rovnice:
y = R . ϕ = R . ((Mk . l)/(G.(Subscript[J, p]))) do které dosadíme za Mk, l, a Jp, potom největší přípustné stlačení / prodloužení / je:
(Subscript[y, max]) = R . ((α.(b^2).h.(Subscript[τ, dk]). 2π.R.n)/(G.γ.b.(h^3))) =(α/γ). (((Subscript[τ, dk])2π.(R^2).n)/(G.b))

Zadání ( A ):
Vypočtěte rozměry šroubovité pružiny z ocelového kaleného drátu čtvercového průřezu o straně “b” pro závěsný siloměr s ukazatelem maximálního prodloužení na stupnici: “y “ = 40 mm, namáhaným silou F = 260 N. Z konstrukčních důvodů musí být střední poloměr R = 13,5 mm,viz. obr.
 (Subscript[τ, dk]) volíme 440 Mpa, modul pružnosti ve smyku G = 81000 MPa, nejmenší vůle mezi závity  δ = 0,4 mm.
 Pro řešení musíme použít tabulky pro výpočet šroub. pružin a pro čtvercový průřez platí:
  α = 0,208  γ = 0,1404
 
  Potom platí: Mk = F.R < α (b^2)h (Subscript[τ, dk]) ;  pro b = h,  pak:    Mk = F.R < α (b^3) (Subscript[τ, dk])
  
  Řešení obdobné jako u příkladu č. 1 Dále porovnejte s pružinou zhotovenou s drátem  obdélníkového průřezu 
  viz. zadání ( B)

Dáno :

ClearAll[F; (Subscript[τ, dk]);R;α;]

F=260; (Subscript[τ, dk]) =440;R =13.5 ;α=0.208;

Solve[b==(((F R)/(α (Subscript[τ, dk])))^(1/3))]//N

{{b->3.372332347669569`}}

zaokrouhleně b = 3,4 mm

Počet činných závitů pružiny je určen z rovnice:
 (Subscript[y, max]) = (α/γ). (((Subscript[τ, dk])2π.(R^2).n)/(G.b))

ClearAll[α;γ;(Subscript[τ, dk]); π  ;R;G;b;(Subscript[y, max])]

α=0.208;γ=0.1404;(Subscript[τ, dk])=440; π  ;R=13.5;G=81000;b=3.4;(Subscript[y, max])=40;

Solve[n==((γ  G b (Subscript[y, max]))/(α  (Subscript[τ, dk]) 2π (R^2)))]//N

{{n->14.758}}

Počet činných závitů je : n = 14,758 zaokrouhlíme na n  =  15 závitů

Celková délka pružiny v nezatíženém stavu je : (Subscript[l, o])=n b+{n-1} δ +(Subscript[y, max])

ClearAll[n;b;δ;(Subscript[y, max])]

n=15;b=3.4;δ=0.4;(Subscript[y, max])=40;

Solve[(Subscript[l, o])==n b+{n-1} δ +(Subscript[y, max])]

{{(Subscript[l, o])->96,6}}

Délka  pružiny v nezatíženém stavu je :(Subscript[l, o])= 96,6 mm

Hmotnost pružiny:  rozměry udávány v “m” !!!
Dáno:

ClearAll[n;R;π]

n=15;R=13.5;π

Solve[(Subscript[l, drátu])== 2*π* R* n]//N

ClearAll[b;(Subscript[l, drátu]);ϱ=7830;]

b=0.0034;(Subscript[l, drátu])=1.27235;ϱ=7830;

Solve[m==(b^2)*(Subscript[l, drátu]) *ϱ]

{{m->0.115167}}

Hmotnost pružiny s čtvercovým průřezem je : m = 0,1151 kg

Zadání (B):
Zadané parametry pružiny jsou stejné, jako v předchozím příkladu, pouze volíme poměr stran b:h = 1,5. Z tabulek pro tento poměr platí, že : α = 0,231 ; γ = 0,1957 [Str.Tab]. Kratší rozměr je vždy ve vyšší mocnině !!!!

Z pevnostní rovnice vyplývá: y = R . ϕ = R. ((Mk.l)/(G.Jp));
 y = ((α b.(h^2).(Subscript[τ, dk ])2π n (R^2))/(γ.G.(b^3).h))
Dáno:

ClearAll[F;R;α;b;(Subscript[τ, dk])]

F=260;R=13.5;α=0.231;b=h*1.5;(Subscript[τ, dk]) =440;

Z pevnostní rovnice pro krut nekruhových průřezů:
 Mk< (Subscript[W, k]). (Subscript[τ, Dk])=> F.R < α. b.(h^2). (Subscript[τ, dk])  určíme rozměry “b” a “h”.
 Součinitel α = 0,231najdeme ve Strojnických tabulkách.

Solve[h==(Sqrt[((F R)/(b α (Subscript[τ, dk])))])]//N

ClearAll[h]

h=2.8
Solve[b==h*1.5]//N

rozměr b: = 4,2 mm, h= 2,8 mm

Výpočet počtu činných závitů:

ClearAll[y;R;(Subscript[τ, dk]);π;α;γ;G;b;h;]

y=40;R=13.5;(Subscript[τ, dk])=440;π;α =0.231;γ=0.1957;G=81000;b=4.2;h=2.8

Solve[{y==((α  (b^2) h (Subscript[τ, dk]) 2π n (R^2))/(γ  G  (b^3)h))},{n}]//N

{{n->22,88}}

počet závitů je : n = 23 činných závitů

Celková délka pružiny v nezatíženém stavu je : (Subscript[l, o])=n b+{n-1} δ +(Subscript[y, max])

ClearAll[n;h;δ;(Subscript[y, max])]

n=23;h=2.8;δ=0.4;(Subscript[y, max])=40;

Solve[(Subscript[l, o])==n h+{n-1} δ +(Subscript[y, max])]

{{(Subscript[l, o])->113.2}}

Délka pružiny v nezatíženém stavu je :(Subscript[l, o])= 113,2 mm

Hmotnost pružiny:  rozměry udávány v “m” !!!
Dáno:

ClearAll[n;R;π]

n=23;R=13.5;π

Solve[(Subscript[l, drátu])== 2*π* R* n]//N

ClearAll[b;h;(Subscript[l, drátu]);ϱ=7830;]

b=0.0042;h=0.0028;(Subscript[l, drátu])=1.951;ϱ=7830;

Solve[m==b*h* (Subscript[l, drátu])* ϱ]

{{m->0.17965}}

Hmotnost pružiny s obdélníkovým průřezem je :
 m = 0,17965 kg

Závěr:
Jednoznačně rozměrově i hmotnostně lépe vychází pružina s čtvercovým průřezem.

Příklad k procvičení : Porovnejte tyto pružiny s pružinou z drátu kruhového průřezu - kterou ovšem musíte navrhnout a která pracuje  ve stejném režimu zatížení a je zhotovena ze stejného materiálu.

Zdroje

Mechanika  Pružnost a pevnost: L.Mrňák a A.Drdla; SNTL Praha 1978