({{Číslo projektu, CZ.1.07/1.1.36/02.0066}, {Autor, Pavel Florík}, {Předmět, Mechanika}, {Téma, Namáhání součástí na ohyb}, {Metodický pokyn, výkladový text s ukázkami}})

Napětí v ohybu:
Výpočet rozměrů nosníků zatížených spojitým zatížením.
Příklad č.1

Navrhněte rozměry “ I ”( íčko) profilu nosníku z oceli 11700,  zatíženého statickým spojitým zatížením podle obrázku o velikosti q = 25 N/mm, působícím v délce  a = 1370 mm, celková délka nosníku je: l = 1560 mm. Dovolené napětí v ohybu je:  (Subscript[σ, Do])= 120 Mpa, průřezové hodnoty rozměru nosníku volte podle ČSN - Strojnické tabulky.

Rozbor úlohy: 

Jedná se o zatížení nosníku na dvou podporách spojitým zatížením, které nepůsobí po celé délce nosníku. Proto maximum Mo nebude ležet uprostřed, ale jeho polohu je nutno určit výpočtem. Po zjištění Mo max je postup  určení “I” profilu obvyklý.
1.Nejprve musíme vypočítat velikost reakčních sil pomocí rovnic rovnováhy.
2.Nakreslíme si průběh posouvajících sil, který nám určí, kde leží maximum Mo /Schwedlerova věta - změna znaménka pos. sil /
3.Z podobnosti trojúhelníků a za pomoci obrazce pos. sil určíme neznámou vzdálenost “X” k místu  Momax.
4.Metodou řezu uvedeme uvolněnou část nosníku do rovnováhy a vypočteme Momax.
5. Kontrolním výpočtem druhé části řezu musíme zjistit stejné hodnoty Momax.

ad. 1: Stanovíme si velikost zatěžující síly (Subscript[F, q]) / působí v polovině délky “a”/, uvolníme nosník zavedením reakcí viz. obr. 
a sestavíme rovnice rovnováhy. q = 25 N/mm, a = 1370 mm, l = 1560 mm

(Subscript[F, q]) = a. q

∑ Fx = 0   žádné síly ve směru “ x “ nejsou

∑ Fy = 0  (Subscript[R, A]) + (Subscript[R, B]) - (Subscript[F, q]) = 0

∑ (Subscript[M, A ])= 0  (Subscript[F, q]) . (a/2) - (Subscript[R, B]) . l =0
Dáno:

ClearAll [a;q]

a = 1370;q=25;

(Subscript[F, q]) ==a q

(Subscript[F, q])==34250

Výsledná síla od spoj. zatížení : (Subscript[F, q]) = 34250 N

ClearAll[(Subscript[F, q]);l;a]

(Subscript[F, q])=34250;l=1560;a=1370;

Solve[(Subscript[F, q])  (( a)/2)-(Subscript[R, B ]) l==0]//N

Solve[{(Subscript[F, q])  (( a)/2)-(Subscript[R, B ]) l==0,(Subscript[R, A])+(Subscript[R, B])-(Subscript[F, q]) ==0},{(Subscript[R, A]),(Subscript[R, B])}]//N

{{(Subscript[R, A])->19210.73717948718`,(Subscript[R, B])->15039.26282051282`}}

Výsledné reakce jsou: (Subscript[R, A]) = 19210,7 N;  (Subscript[R, B]) = 15039,3 N

ad. 2: Nyní si nakreslíme průběh posouvajících sil a tam, kde budou “posouvačky” měnit znaménko, leží maximum
 Mo max /Schwedlerova věta/. Polohu tohoto místa musíme vypočítat, rozhodně to není (a/2)!!! Polohu vypočteme z podobnosti trojúhelníků, viz obr.  pomoci fce tg. Platí: ((Subscript[R, A])/X) = ((Subscript[R, B])/(a-X)) !!!

Z obrázku je jasně patrné, že bod “C” neleží ! ve vzdálenosti a/2 !

ad.3: Určení “X”

ClearAll[(Subscript[R, A;])(Subscript[R, B;])a]

a=1370;(Subscript[R, A])=19210.73717948718;(Subscript[R, B])=15039.26282051282;

Solve[((Subscript[R, A])/X) ==((Subscript[R, B])/(a-X))]//N

{{X->768.4294871794872}}

Vzdálenost “X” od uložení A je 768,429 mm. K tomuto místu budeme počítat Mo max.

ad.4: Ohybový moment k místu “C” - zleva je :

Momax = (Subscript[R, A]).X - (Subscript[F, qx]). (X/2) ; Nesmíme zapomenout, že počítáme s jinou velikostí síly (Subscript[F, qx]) ze spojitého zatížení ! Protože v místě”C” ohraničeném řezem je (Subscript[F, qx]) = q. X !!! Proto moment od síly  (Subscript[F, qx ]) k bodu “C” je: (Subscript[F, qx]). X/2  ! Průběh Mo je v úseku zatíženém spojitým zatížením tvořen parabolou , viz. Momax = (Subscript[R, A]).X - (Subscript[F, qx]). (X/2) zapsáno  i takto:
 Momax =  (Subscript[R, A]).X - q.X.(X/2)= (Subscript[R, A]).X - (q/2).(X^2); což je rovnice paraboly. Zbytek nosníku je zatížen na ohyb osamělou silou (Subscript[R, B]), proto je průběh Mo lineární.

Dáno :

ClearAll[q;x]

x=768.4294871794872;q=25;

(Subscript[F, qx])==x q

(Subscript[F, qx])==19210.73717948718`

Síla (Subscript[F, qx]) je 19210,7 N

ClearAll[(Subscript[R, A;])X;(Subscript[F, qx;])]

(Subscript[R, A])=19210.73717948718;X=768.4294871794872;(Subscript[F, qx])=19210.73717948718;

Solve[Momax ==(Subscript[R, A])  X-(Subscript[F, qx])  X/2]//N

{{Momax->7.38104845958662`*^6}}

Moment Momax je 7381050 N.mm

ad.5: Pokud chceme provést kontrolu správnosti, spočítáme moment k bodu “C” zprava / potřebujeme k tomu vzdálenost “d”- zbytek zatížení spoj. zátěží - “d” = a-X =  601,5706mm  a tím i zatěžující sílu (Subscript[F, qd]) = q.d  /a výsledek musí být stejný:

Dáno :

ClearAll[q;d]

q=25;d=601.5706;

(Subscript[F, qd])== q   d

(Subscript[F, qd])==15039.265`

Síla (Subscript[F, qd ]) je 15039,265 N ! Momax = (Subscript[R, B]) . (l-X)-(Subscript[F, qd])(d/2)

ClearAll[(Subscript[R, B;])l;(Subscript[F, qd]);X;q]

(Subscript[R, B])=15039.26282051282;l=1560;(Subscript[F, qd])=15039.265;X=768.4294871794872;q=25;

Solve[Momax==  (Subscript[R, B  ]){l-X}-(Subscript[F, qd])   (d/2) ]

{{Momax->7.381047148471305}}

Momenty jsou zleva i zprava stejně velké, takže to máme správně - HURÁ ! Nejtěžší část máme za sebou a nyní pokračujeme výpočtem rozměru profilu “I”. Známe (Subscript[σ, Do])= 120 MPa a protože nosník je zatížen ohybem, platí pevnostní rovnice: (Subscript[σ, o ])= (Momax/(Subscript[W, o])) ≤ (Subscript[σ, Do]) ; Z té zjistíme modul průřezu v ohybu (Subscript[W, o]) a podle jeho velikosti najdeme v Stroj. tabulkách nejbližší vyšší průřez “I”.

ClearAll[(Subscript[σ, Do]);Momax]

(Subscript[σ, Do])=120;Momax=7381050;

Solve[(Subscript[W, o])==(Momax/(Subscript[σ, Do]))]//N

{{(Subscript[W, o])->61508.75`}}

Závěr:
Hodnota Wo je: 61508,8 (mm^3), což je 61,509 (cm^3), tomu odpovídá profil ”I”- 140 s Wo 81,9 (cm^3).
Diskuse výsledků netřeba, protože vše je dostatečně komentováno v předchozím výpočtu

Příklad k procvičení:
Nosník  podle obr. je po celé délce zatížen spojitým zatížením o velikostiq = 50 N/mm. Vyšetřete průběh posouvajících sil a ohybových momentů a navrhněte  velikost profilu T, pro materiál 10370 a střídavém zatížení. Rozměry : l = 1,2 m ; 
a = 0,75m.

Zdroje

Mechanika  Pružnost a pevnost: L.Mrňák a A.Drdla; SNTL Praha 1978