({{Číslo projektu, CZ.1.07/1.1.36/02.0066}, {Autor, Pavel Florík}, {Předmět, Mechanika}, {Téma, Pružnost a pevnost:Napětí v ohybu}, {Metodický pokyn, výkladový text s ukázkami}})

Výpočet součástí namáhaných ohybem.
Nosník zatížený osamělými silami.
Příklad č.1:

Vypočti průřezové rozměry nosníku nerovnoramenného “L” zatíženého míjivými silami (Subscript[F, 1 ])= 1280 N a (Subscript[F, 2]) = 680 N, podle obrázku. Nosník je z oceli 11700, rozměry jsou: a = 600 mm; b = 350 mm; l = 1200mm; Vzhledem k míjivému zatížení volíme dovolené napětí v ohybu nižší : 95 Mpa.

Rozbor úlohy:
Jedná se o nosník zatížený dvojicí míjivě se měnících sil, na dvou podporách, proto je nutné volit nižší dovolené napětí v ohybu, dále si musíme uvědomit důležitost orientace profilu vzhledem k namáhání, tedy poloze neutrální osy. V tomto případě se jedná o osu “x”  a tedy modul průřezu Wox, viz. Strojnické tabulky.

Řešení:
1. Nosník uvolníme zavedením reakcí
2. Sestavíme rovnice rovnováhy a vypočteme velikost reakcí.
3. Nakreslíme si průběh posouvajících sil, což nám  umožní určit místo, kde je Momax. Tedy tam, kde “posouvačky” mění znaménko-Schwedlerova věta.
4. V tomto místě vedeme řez , ponecháme si jednodušší, tedy méně zatíženou část nosníku. Uvolněnou část nosníku uvedeme do rovnováhy připojením vnitřních sil a vypočteme ohybový moment k místu řezu “C”.
5. Kontrola je jednoduchá, spočítáme-li Mo max z druhé strany, musíme dostat stejný výsledek.
6. Dále za pomoci pevnostní rovnice určíme Wox a podle něj ze Stroj. tab. určíme výsledný profil.



ad.1.Uvolnění nosníku:

ad.2. Rovnice rovnováhy:

     ∑    Fx = 0   Nejsou zde žádné síly ve směru x,  proto nula.
     ∑    Fy = 0   (Subscript[R, A]) + (Subscript[R, B]) -(Subscript[F, 1]) - (Subscript[F, 2]) = 0
     ∑   (Subscript[M, A]) = 0   (Subscript[F, 1]) .a + (Subscript[F, 2]) .(l - b) - (Subscript[R, B]).l = 0

Dáno :

ClearAll[(Subscript[F, 1]);(Subscript[F, 2]) ;l;a;b]

(Subscript[F, 1])=1280 ;(Subscript[F, 2]) =680;l=1200;a=600;b=350;

Solve[(Subscript[F, 1]) a+(Subscript[F, 2]) {l-b}-(Subscript[R, B]) l==0]//N

Solve[{(Subscript[R, A])+ (Subscript[R, B])-(Subscript[F, 1])-(Subscript[F, 2])==0,(Subscript[F, 1])  a+(Subscript[F, 2])  {l-b}-(Subscript[R, B])  l==0},{(Subscript[R, A]), (Subscript[R, B])}]//N

{{(Subscript[R, A])->838.3333333333334`,(Subscript[R, B])->1121.6666666666667`}}

Reakce (Subscript[R, A]) = 838,333 N ; (Subscript[R, B]) = 1121,667 N

ad.3 Průběh posouvajících sil

Z konstrukce pos. sil vidíme, že maximum ohybového momentu leží pod silou (Subscript[F, 1]) - Pozor, moment je způsoben reakční silou (Subscript[R, A]) !!! / síla (Subscript[F, 1]) nemá k bodu “C” žádnou vzdálenost- proto nemá ani moment /

ad.4. výpočet Momax. 
 Zeleně je znázorněn průběh ohybových momentů. Od osamělé síly je vždy průběh Mo - lineární !

Obrázek uvolněné jednodušší části / zleva -řezu / : Mo max = (Subscript[R, A]) . a

Dáno :

ClearAll [(Subscript[R, A]);a]

(Subscript[R, A])=838.3333333333334`;a=600;

Momax== (Subscript[R, A]) a

Mo max je 503000 N.mm

ad.5. Kontrola:  Mo max= (Subscript[R, B]).(l - a) -(Subscript[F, 2]) .(l-a-b)

Dáno :

ClearAll[(Subscript[R, B]);(Subscript[F, 2]);l;b;a]

(Subscript[R, B])=1121.6666666666667`;(Subscript[F, 2])=680;l=1200;b=350;a=600;

Solve[Momax==(Subscript[R, B ]){l-a}-(Subscript[F, 2 ]){l-a-b}]

{{Momax->503000.`}}

Nu vida !  Tak to máme dobře, takže teď už pouze pevnostní rovnici a vypočítat z ní Wox a stanovit rozměr “L”

ad.6. Pevnostní rovnice - výsledný profil : (Subscript[σ, o]) =(( Mo)/(Subscript[W, o])) ≤ (Subscript[σ, Do])

ClearAll[Momax; (Subscript[σ, Do])]

Momax=503000; (Subscript[σ, Do])=95;

Solve[(Subscript[W, ox])==(Momax/(Subscript[σ, Do]))]//N

{{(Subscript[W, ox])->5294.736842105263`}}

Wox  je  5294,74 (mm^3), což je 5,29474 (cm^3).

Závěr:
Podle Strojnických tabulek volím profil nerovnoramenného “L” 75x50x5 s Wox = 6,74 (cm^3)

Příklad k procvičení:
Vetknutý nosník průřezu “I” je namáhán osamělou silou F1 = 3500 N a dvojicí sil F2 = 560 N. Vyšetřete průběh posouvajících sil a ohybových momentů a navrhněte velikost “ I “ profilu, je - li nosník z oceli 11700. Rozměry nosníku jsou : a = 550 mm; b = 780 mm; c = 900 mm. Materiál je ocel 11373, zatížení - míjivé. Jak se bude měnit příčný rozměr nosníku, bude-li se měnit vzdálenost “a” od 550 mm do 1 m v krocích po 50mm ?

Zdroje

Mechanika  Pružnost a pevnost: L.Mrňák a A.Drdla; SNTL Praha 1978