({{Číslo projektu, CZ.1.07/1.1.36/02.0066}, {Autor, Markéta Šímová}, {Předmět, Aplikovaná matematika}, {Téma, Mocninná funkce - tranformace souřadnic, absolutní hodnota}, {Metodický pokyn, výkladový text s ukázkami}})

Mocninná funkce - transformace souřadnic, absolutní hodnota

Jak se změní graf mocninné funkce, přičteme-li (odečteme-li) k základu funkce reálné číslo?

Pokusíme se odvodit porovnáním takovéto funkce s funkcí základní.

Příklad 1: 
Do jedné soustavy souřadnic zobrazte grafy funkcí y = (x^3), y = (((x +1))^3), y = (((x -1))^3)

Plot[{(x^3),((( x+1))^3),((( x-1))^3)},{x,-4,4},PlotLegends->{"y = (x^3)","y =(x+1)^3","y = (x-1)^3"}]

Závěr: 
 	y = (((x + a))^n) ⟶ graf funkce se posune po ose x o (- a)
                 y = (((x - a))^n) ⟶ graf funkce se posune po ose x o (+ a) , platí pro kladnou lichou mocninu

Platí totéž pro zápornou lichou mocninu?

Příklad 2A:
 Do jedné soustavy souřadnic zobrazte grafy funkcí y = (x^(-3)), y = (((x +1))^(-3))

Plot[{(x^(-3)),((( x+1))^(-3))},{x,-4,4},PlotLegends->{"y = (x^(-3))","y =(x+1)^(-3)"}]

Příklad 2B: 
Do jedné soustavy souřadnic zobrazte grafy funkcí y = (x^(-3)), y = (((x -1))^(-3))

Plot[{(x^(-3)),((( x-1))^(-3))},{x,-4,4},PlotLegends->{"y = (x^(-3))","y =(x-1)^(-3)"}]

Závěr:
	y = (((x + a))^n) ⟶ graf funkce se posune po ose x o (- a),
                    y = (((x - a))^n) ⟶ graf funkce se posune po ose x o (+ a) platí i pro zápornou lichou mocninu, zároveň s grafem funkce 
                                          se posouvá stejným směrem i asymptota funkce

Platí totéž pro sudé mocniny?

Příklad 3A: 
Do jedné soustavy souřadnic zobrazte grafy funkcí y = (x^4), y = (((x +2))^4)

Plot[{(x^4),((( x+2))^4)},{x,-6,4},PlotLegends->{"y = (x^4)","y =(x+2)^4"}]

Příklad 3B: 
Do jedné soustavy souřadnic zobrazte grafy funkcí y = (x^4), y = (((x -2))^4)

Plot[{(x^4),((( x-2))^4)},{x,-4,6},PlotLegends->{"y = (x^4)","y =(x-2)^4"}]

Příklad 4A: 
Do jedné soustavy souřadnic zobrazte grafy funkcí y = (x^(-2)), y = (((x +3))^(-2))

Plot[{(x^(-2)),(((x+3))^(-2))},{x,-8,5},PlotLegends->{"y = (x^(-2))","y =(x+3)^(-2)"}]

Příklad 4B: 
Do jedné soustavy souřadnic zobrazte grafy funkcí y = (x^(-2)), y = (((x -4))^(-2))

Plot[{(x^(-2)),(((x-4))^(-2))},{x,-6,10},PlotLegends->{"y = (x^(-2))","y =(x-4)^(-2)"}]

Závěr: 
             y = (((x + c))^n) ⟶ graf základní funkce je posunutý ve směru osy x o   ( - c)
             y = (((x - c))^n) ⟶ graf základní funkce je posunutý ve směru osy x o   ( + c), pokud má funkce asymptotu, 
                                        posouvá se spolu s grafem funkce i asymptota

Jak se změní graf mocninné funkce, přičteme-li (odečteme-li) k funkci reálné číslo?

Příklad 5A: 
Do jedné soustavy souřadnic zobrazte grafy funkcí y = (x^3), y = (x^3)+ 10, y = (x^3)- 10

Plot[{(x^3),(x^3)+10, (x^3)-10},{x,-4,4},PlotLegends->{"y = (x^3)","y =(x^3)+10","y = (x^3)-10"}]

Příklad 5B: 
Do jedné soustavy souřadnic zobrazte grafy funkcí y = (x^(-3)), y = (x^(-3))+ 4, y = (x^(-3))- 4

Plot[{(x^(-3)),(x^(-3))+4, (x^(-3))-4},{x,-3,3},PlotLegends->{"y = (x^(-3))","y =(x^3)+4","y = (x^3)-4"}]

Závěr: 
              y = (x^n)+a ⟶ graf základní funkce je posunutý ve směru osy y o  ( +a)
              y = (x^n) - a ⟶ graf základní funkce je posunutý ve směru osy y o  (- a), pokud má funkce asymptotu, 
                                      posouvá se spolu s grafem funkce i asymptota

Absolutní hodnota mocninné funkce

Příklad 6A: 
Do jedné soustavy souřadnic zobrazte grafy funkcí y = (x^3), y = ((|x|)^3)

Plot[{(x^3),Abs [(x^3)]},{x,-4,4},PlotLegends->{"y = (x^3)","y =\[LeftBracketingBar]x(\[RightBracketingBar]^3)"}]

Příklad 6B: 
Do jedné soustavy souřadnic zobrazte grafy funkcí y = (x^(-3)), y = ((|x|)^(-3))

Plot[{(x^(-3)),Abs [(x^(-3))]},{x,-4,4},PlotLegends->{"y = (x^(-3))","y =\[LeftBracketingBar]x(\[RightBracketingBar]^(-3))"}]

Příklad 6C: 
Do jedné soustavy souřadnic zobrazte grafy funkcí y = (x^4), y = ((|x|)^4)

Plot[{(x^4),Abs [(x^4)]},{x,-4,4},PlotLegends->{"y = (x^4)","y =\[LeftBracketingBar]x(\[RightBracketingBar]^4)"}]

Příklad 6D: 
Do jedné soustavy souřadnic zobrazte grafy funkcí y = (x^(-2)), y = ((|x|)^(-2))

Plot[{(x^(-2)),Abs [(x^(-2))]},{x,-4,4},PlotLegends->{"y = (x^(-2))","y =\[LeftBracketingBar]x(\[RightBracketingBar]^(-2))"}]

Závěr: 
Části grafu, které odpovídají x∈(0,∞), se nezmění, zbylá část grafu je souměrná podle osy y.

Sbírka úloh:
1. Zakreslete do sešitu graf funkce y = (x^(-2))+2, graf zkontrolujte pomocí WM. 
2. Zakreslete do sešitu graf funkce y = (x^3)-1, graf zkontrolujte pomocí WM. 
3. Zakreslete do sešitu graf funkce y = ((|x|)^(-2))+2, graf zkontrolujte pomocí WM. 
4. Zakreslete do sešitu graf funkce y = (((x-1))^4), graf zkontrolujte pomocí WM. 
*5. Zakreslete do sešitu graf funkce y = (((x-1))^4)+2, graf zkontrolujte pomocí WM. 
6. Zakreslete do sešitu graf funkce y = (((x+2))^3), graf zkontrolujte pomocí WM. 
7. Zakreslete do sešitu graf funkce y = (((x+1))^(-3)), graf zkontrolujte pomocí WM.
8. Zakreslete do sešitu graf funkce y = ((|x|)^5), graf zkontrolujte pomocí WM. 
*9. Zakreslete do sešitu graf funkce y = (((x+2))^(-3))-1, graf zkontrolujte pomocí WM. 
*10. Zakreslete do sešitu graf funkce y = |(((x + 2))^(-3))-1|, graf zkontrolujte pomocí WM.

Zdroje:
Polák, J.: Středoškolská matematika v úlohách I. Prometheus, Praha, 2006. IBSN 80-7196-337-2