({{Číslo projektu, CZ.1.07/1.1.36/02.0066}, {Autor, Markéta Šímová}, {Předmět, Aplikovaná matematika}, {Téma, Mocninná funkce s přirozeným exponentem}, {Metodický pokyn, výkladový text s ukázkami}})

Mocninná funkce s přirozeným exponentem

Nejprve si připomeňme definici mocniny s přirozeným exponetem.
Pro každé x∈R a pro každé n∈N, n≥1 definujeme: 
            
            
 Číslo x se nazývá základ mocniny (mocněnec), číslo n exponent (mocnitel) .

Mocninná funkce s přirozeným exponentem je dána předpisem f: y = (x^n), n∈N, n≥1

Jaký je graf této funkce? Jaký má definiční obor?

Příklad 1:
Do jednoho grafu narýsujte grafy funkcí y = x, y = (x^2), y = (x^3)

Plot[{x,(x^2),(x^3)},{x,-3,3},PlotLegends->{"y = x","y =(x^2)","y = (x^3)"}]

Závěr: 
           Graf funkce y = x je grafem lineární funkce - již známe z předešlých hodin.
        Graf funkce y = (x^2) je grafem kvadratické funkce - již známe z předešlých hodin.
        Graf funkce y = (x^3) je zcela odlišný od předchozích dvou grafů.

Zobrazené grafy se zcela odlišují. 

Je možné najít vlastnost, která by byla alespoň část funkcí společná a dala by se zobecnit?

Pokusíme se odvodit z grafů funkcí. Do jedné soustavy souřadnic zobrazíme několik funkcí:

Příklad 2:
Do jednoho grafu zobrazte funkce: y = (x^2), y = (x^3), y = (x^4), y = (x^5)

Plot[{(x^2),(x^3),(x^4),(x^5)},{x,-3,3},PlotLegends->{"y =(x^2)","y = (x^3)","y =(x^4)","y = (x^5)"}]

Závěr:
Grafy funkcí se sudou mocninou mají stejný ( resp. podobný) tvar a vlastnosti, grafy funkcí s lichou mocninou mají stejný ( resp. podobný)  tvar a vlastnosti.

Potvrzení závěru:

n - sudé

Plot[{(x^2),(x^4),(x^6),(x^8)},{x,-2,2},PlotLegends->{"y =(x^2)","y = (x^4)","y =(x^6)","y =(x^8)"}]

n - liché

Plot[{(x^3),(x^5),(x^7),(x^9)},{x,-2,2},PlotLegends->{"y =(x^3)","y = (x^5)","y =(x^7)","y = (x^9)"}]

Shrnutí:

Grid[{{"n sudé","n liché"},{"D = R","D = R"},{"H = ⟨0, ∞)","H = R"},{"sudá","lichá"},{"není prostá","je prostá"},{"⟨0, ∞) rostoucí, (-∞,0⟩ klesající","rostoucí na celém D"},{"v [0,0] minimum","nemá minimum ani maximum"},{"je zdola omezená","není omezená"}},Frame->All]

Sbírka úloh:
1. Zakreslete do sešitu graf funkce y = (x^10), graf zkontrolujte pomocí WM.
2. Zakreslete do sešitu  graf funkce y = (x^9), graf zkontrolujte pomocí WM.

Zdroje:
Polák, J.: Středoškolská matematika v úlohách I. Prometheus, Praha, 2006. IBSN 80-7196-337-2