Jednorozměrné systémy - zpětnovazební řazení

Zadání

Soustava vyššího řádu je vytvořena z několika bloků nižšího řádu, jak je patrno z obrázku. Odvoďte  výsledný přenos soustavy vyššího řádu popisující dané systémy, jestliže přenosy jednotlivých bloků jsou:

(Subscript[G, 1])(s)=(Subscript[K, 1])(Subscript[,    G, 2])(s)=((Subscript[K, 2])/(1+(Subscript[T, 2])*s))  (Subscript[,    G, 3])(s)=((Subscript[K, 3])/(1+(Subscript[T, 3])*s)), (Subscript[ G, 4])(s)=(Subscript[K, 4])

(Subscript[G, 1])(s)=0,2(Subscript[,    G, 2])(s)=((0,5)/(1+20*s))  (Subscript[,    G, 3])(s)=((0,3)/(1+10*s)), (Subscript[ G, 4])(s)=0,4

Úkoly

1.	Připravte referát.  
2.	Odvoďte  výsledný obrazový přenos Gey a Gwy soustavy vyššího řádu G dle obrázku,  
	a.	uveďte definici obrazového přenosu a frekvenčního přenosu,
	b.	určete vstupy a výstupy bloků G1 a G2,
	c.	napište vztah mezi vstupem a výstupem pro blok G1,
	d.	napište vztah mezi vstupem a výstupem pro blok G2,
	e.	na základě vztahů z bodu b), c)  a d) odvoďte vztah mezi vstupem a výstupem výsledné soustavy Gey.
	f.	na základě odvozeného vztahu z bodu e)  odvoďte  obrazový přenos Y(s)/W(s) .

3.	Ověřte výsledek součtu přenosů G1(s), G2(s)  z bodu 2), podle potřeby si vyžádejte pomoc od učitele
	a.	v prostředí softwaru Wolfram-Mathematica otevřete soubor typu .nb (notebook) a nazvěte jej ZpRaSy _jmeno_trida_datum
	b.	seznamte se s příkazovými řádky  TransferFunctionModel  a TransferFunctionExpand a jejich použití,
	c.	Vytvořte funkční model pomocí příkazových řádků : “ TransferFunctionModel “ a “TransferFunctionExpand “
		a na základě vytvořenoho funkčního modelu určete řád bloku G1, G2  a výsledné soustavy Gey.
4.	Na základě funkčního modelu z bodu 3) určete řád výsledné soustavy Gwy.

Závěr

do závěru uveďte porovnávání  vlastnosti součtu bloků v booleovské a v blokové algebře a zejména  typový rozdíl mezi vstupy a výstupy.

------------------------------------

1-Příprava referátu - vyplněte hlavičku referátu (viz formalář).

2- Výsledný obrazový přenos U(s)/E(s) soustavy vyššího řádu G dle obrázku

a-Obecná definice přenosové funkce

Přenosová funkce G je matematické vyjádření relace mezi vstupem lineárního systému u(t) a jeho výstupem y(t). Může být jednorozměný systém ( 1 vstup a 1 výstup) nebo vícerozměrný (několik vstupů a výstupů). Jsou znáné dva druhy přenosových funkcí obrazový a frekvenční přenos
	- obrazový přenos : podíl Laplaceova obrazu Y(s) výstupního signálu y(t) k L-obrazu vstupního U(s) signálu u(t) při nulových počátečních podmínkách. L-obrazy získáme z originálů 
	Laplaceovou 	transformací.
	
					G(s) = ((Y(s))/(U(s))), 			kde s ≡ (d/dt)	je operátor derivace
	
	- frekvenčný přenos : podíl Fourierova obrazu Y(jω) výstupního signálu y(t) k F-obrazu U(jω) vstupního signálu u(t) při nulových počátečních podmínkách. Frekvenční přenos lze 	
	formálně určit z obrazového přenosu dosazením s ≡ jω
	
						G( jω) = ((Y(jω))/(U(jω))), 			kde j komlexní operátor  a  ω krůhová frekvence

b-vstupy a výstupy bloků G1 G2

- Blok G1 má
		  jeden vstup, ten je označen v časové oblasti e(t). Jeho vyjádření v oblasti algebraické  je E(s) tj. L-obraz e(t)
		  jeden výstup, ten je označen v časové oblasti (Subscript[u, 1])(t). Jeho vyjádření v oblasti algebraické  je (Subscript[U, 1])(s) tj. L-obraz (Subscript[u, 1])(t)

- Blok G2 má
		  jeden vstup, ten je označen v časové oblasti u(t). Jeho vyjádření v oblasti algebraické  je U(s) tj. L-obraz u(t)
		  jeden výstup, ten je označen v časové oblasti y(t). Jeho vyjádření v oblasti algebraické  je Y(s) tj. L-obraz y(t)

c- Vztah mezi vstupem a výstupem bloku G1
	vztah se vyjádřuje v algebraické oblasti a čte se z prava do leva 
		U(s) = G1(s) * E(s)  , 		kde  E(s)(s) a U(s) jsou respektive společný vstup a výstup bloku G1

d- Vztah mezi vstupem a výstupem bloku G2
	vztah se vyjádřuje v algebraické oblasti a čte se z prava do leva 		
		Y(s) = G2(s) *  U(s) (s) , 		kde   U(s) (s) a Y(s) jsou respektive vstup a výstup bloku G2

e- Vztah mezi vstupem a výstupem výsledného bloku Gey 
		vztah se vyjádřuje v algebraické oblasti a čte se postupně z prava do leva.  Jedná se o 2 bloky (viz body b,c, d) G1 a G2, které jsou 
	zapojeny sériově, tak aby výstup prvního bloku byl vstupem druhého bloku.

Y(s) = (Subscript[U, 1])(s),  (Subscript[U, 2])(s) = (Subscript[Y, 1])(s), (Subscript[Y, 2])(s) = Y(s)
	
	dosazením za Y(s)  a  U(s)  z bodů b, c, d dostaneme  
	
			Y(s) = (Subscript[G, 2])(s) *U(s)  = (Subscript[G, 2])(s) *(Subscript[G, 1])(s) *E(s)  
			
	vztah upravíme vytknutím E(s) 
	
			Y(s) = [G1(s) * G2(s) ] * E (s)
			
	Výsledný vztah bude
	
			Y(s) = G(s)  * E (s), 			kde 	Gey(s) =  G1(s)  *  G2(s) 
	
	Z předchozího vyplývá
	
			Gey(s) =  G1(s)  *  G2(s)

Kde 
			
			Gey(s) =  G1(s)  *  G2(s) 
			
	dosazením za G1(s) a  G2(s) dostaneme
	
			Gey(s) = 0,2 * (0.5/(1+20s)) 
			
	převedením na společný jmenovatel G(s) bude
	
			Gey(s) = 0,2 * (0.5/(1+20s))  = (0.1/(1+20s)) 
	
	Po upravě dostaneme Gey(s)
			
			Gey = ((0.1 )/(1+20s ))

g- Výpočet výsledného bloku Gwy

Použitím Massonova pravidla dostaneme:

			Gwy = ((Gey )/(1+Gey ))= ((((0.1 )/(1+20s )) )/(1+((0.1 )/(1+20s )) )) = ((0.1 )/(1+20s+0.1))  = ((0.1 )/(1.1+20s)) = ((0.005 )/(0.055+s))

3- Tvorba souboru typu .nb (notebook) a seznámení se s příkazovými řádky

a- Tvorba souboru typu notebook

v prostředí Wolfram-mathematica - hlavní menu postupně klepněte levým tlačíttkem myši na:
	
			File -> New -> Notebook (.nb) nebo ctrl+N
	
	objeví se prázdný soubor s názvem “ untitled-číslo”

uložte jej pod názvem “ZpRaSy _jmeno_trida_datum”

b- seznámení s jednotlivými příkazovými řádky
	v prostředí Wolfram-mathematica - hlavní menu postupně klepněte levým tlačíttkem myši na:
	
		Help ->Documentation Centre
	
	objeví se  podmenu

Do prázdného pole napište jednotlivé příkazové řádky a postupne prostudujte sytaxe a způsob použití

c- Tvorba funkčního modelu a ověření výsledků

Funkční model přenosové funkce G1 vytvoříme příkazovým řádkem

G1=TransferFunctionModel[{{k1 }},s]

Funkční model přenosové funkce G2 vytvoříme příkazovým řádkem

G2=TransferFunctionModel[{{(k2/(1+T2s)) }},s]

Funkční model výsledné přenosové funkce Gey vytvoříme jedným příkazovým řádkem

Gey=TransferFunctionModel[{{k1(k2/(1+T2*s))}},s]

Funkční model výsledné přenosové funkce Gwy vytvoříme jedným příkazovým řádkem

Gwy = SystemsModelFeedbackConnect[(TransferFunctionModelFull[((k1 k2)/(1+T2 s)), , , ])]

Funkční model výsledné přenosové funkce Gey vytvořime také jako funkci parametrů k1,k2 a T2

PrenosGey[k1_,k2_,T2_]:=TransferFunctionModel[((k1*k2)/(1+T2*s)),s]

a pro dané hodnoty parametrů k1,k2 a T2 spočítáme následujícím příkazovým řádkem

GGey=PrenosGey[0.2,0.5,20]

Funkční model výsledné přenosové funkce Gwy vytvořime také jako funkci parametrů k1,k2 a T2

PrenosGwy[k1_,k2_,T2_]:=SystemsModelFeedbackConnect[(TransferFunctionModelFull[((k1 k2)/(1+T2 s)), , , ])]

a pro dané hodnoty parametrů k1,k2 a T2 spočítáme následujícím příkazovým řádkem

GGwy=PrenosGwy[0.2,0.5,20]//Simplify

Nebo použitím Messonova pravidla vytvoříme výsledný přenos Gwy pomocí základního příkazového řádku

Gwy2=TransferFunctionModel[{{((k1*(k2/(1+T2*s)))/(1+k1*(k2/(1+T2*s))))}},s]

PrenosGwy2[k1_,k2_,T2_]:=TransferFunctionModel[{{((k1*(k2/(1+T2*s)))/(1+k1*(k2/(1+T2*s))))}},s]

GGwy2=PrenosGwy2[0.2,0.5,20]//Simplify

4- Řád soustavy G1, G2 a výsledné soustavy Gwy

Řád soustavy G1 určuje stupeň polynomu ve jmenovateli přenosové funkce G1, tedy je 0
	Řád soustavy G2 určuje stupeň polynomu ve jmenovateli přenosové funkce G2, tedy je 1
	Řád soustavy Gey a Gwy určuje stupeň polynomu ve jmenovateli výsledné přenosové funkce, tedy je 1

Závěr

Blok součtu  představuje
	-v booleovské algebře logický se může jednat o sekvenční samodržný obvod 		
	-v blokové algebře  se může jednat o napěťový dělič.

Zdroje
		
		-Interní studijní materiál školy a firemní dokumentace software Wolfram-Mathematica.
		-http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/TransferFunctionPoles.html?q=TransferFunctionPoles&lang=en
		-http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/TransferFunctionZeros.html?q=TransferFunctionZeros&lang=en
		-http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/TransferFunctionFactor.html?q=TransferFunctionFactor&lang=en
		-http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/TransferFunctionModel.html?q=TransferFunctionModel&lang=en
		-http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/TransferFunctionExpand.html?q=TransferFunctionExpand&lang=en
		
Materiál je určen pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. 
Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.

Neocitovaná autorská díla jsou dílem autora.
Neocitované obrázky jsou součástí prostředků výukového software Microsoft office 2007.