Jednorozměrné systémy - smíšené řazení

Zadání

Soustava vyššího řádu je vytvořena z několika bloků nižšího řádu, jak je patrno z obrázku. Odvoďte  výsledný přenos soustavy vyššího řádu popisující dané systémy, jestliže přenosy jednotlivých bloků jsou:

(Subscript[G, 1])(s)=(Subscript[K, 1])(Subscript[,    G, 2])(s)=((Subscript[K, 2])/(1+(Subscript[T, 2])*s))  ,    (Subscript[G, 3])(s)=((Subscript[K, 3])/(1+(Subscript[T, 3])*s)),  (Subscript[G, 4])(s)=(Subscript[K, 4])

(Subscript[G, 1])(s)=0,2(Subscript[,    G, 2])(s)=((0,5)/(1+20*s))  ,    (Subscript[G, 3])(s)=((0,3)/(1+10*s)),  (Subscript[G, 4])(s)=0,4

Úkoly

1.	Připravte referát.  
2.	Odvoďte  výsledný obrazový přenos U(s)/E(s) soustavy vyššího řádu G dle obrázku,  
	a.	uveďte definici obrazového přenosu a frekvenčního přenosu,
	b.	určete vstupy a výstupy bloků G1 , G2 a G3,
	c.	napište vztah mezi vstupem a výstupem pro blok G1,
	d.	napište vztah mezi vstupem a výstupem pro blok G2,
	e.	napište vztah mezi vstupem a výstupem pro blok G3,
	f.	na základě vztahů z bodu c), d)  a e) odvoďte vztah mezi vstupem a výstupem výsledné soustavy G.
	g.	na základě odvozeného vztahu z bodu f)  odvoďte  obrazový přenos U(s)/E(s) výsledné soustavy G.

3.	Ověřte výsledek součtu přenosů G1(s), G2(s), G3(s)  z bodu 2), podle potřeby si vyžádejte pomoc od učitele
	a.	v prostředí softwaru Wolfram-Mathematica otevřete soubor typu .nb (notebook) a nazvěte jej SmiRa _jmeno_trida_datum
	b.	seznamte se s příkazovými řádky  TransferFunctionModel  a TransferFunctionExpand a jejich použití,
	c.	Vytvořte funkční model pomocí příkazových řádků : “ TransferFunctionModel “ a “TransferFunctionExpand “
		a na základě vytvořenoho funkčního modelu určete řád bloku G1, G2, G3 a výsledné soustavy G.
4.	Na základě funkčního modelu z bodu 3) urèete řád bloku G1, G2, G3 a výsledné soustavy G.

Závěr

do závěru uveďte porovnávání  vlastnosti součtu bloků v booleovské a v blokové algebře a zejména  typový rozdíl mezi vstupy a výstupy.

------------------------------------

1-Příprava referátu - vyplněte hlavičku referátu (viz formalář).

2- Výsledný obrazový přenos U(s)/E(s) soustavy vyššího řádu G dle obrázku

a-Obecná definice přenosové funkce

Přenosová funkce G je matematické vyjádření relace mezi vstupem lineárního systému u(t) a jeho výstupem y(t). Může být jednorozměný systém ( 1 vstup a 1 výstup) nebo vícerozměrný (několik vstupů a výstupů). Jsou znáné dva druhy přenosových funkcí obrazový a frekvenční přenos
	- obrazový přenos : podíl Laplaceova obrazu Y(s) výstupního signálu y(t) k L-obrazu vstupního U(s) signálu u(t) při nulových počátečních podmínkách. L-obrazy získáme z originálů 
	Laplaceovou 	transformací.
	
					G(s) = ((Y(s))/(U(s))), 			kde s ≡ (d/dt)	je operátor derivace
	
	- frekvenčný přenos : podíl Fourierova obrazu Y(jω) výstupního signálu y(t) k F-obrazu U(jω) vstupního signálu u(t) při nulových počátečních podmínkách. Frekvenční přenos lze 	
	formálně určit z obrazového přenosu dosazením s ≡ jω
	
						G( jω) = ((Y(jω))/(U(jω))), 			kde j komlexní operátor  a  ω krůhová frekvence

b-vstupy a výstupy bloků G1 , G2 a G3

- Blok G1 má
		  jeden vstup, ten je označen v časové oblasti u(t). Jeho vyjádření v oblasti algebraické  je U(s) tj. L-obraz u(t)
		  jeden výstup, ten je označen v časové oblasti (Subscript[y, 1])(t). Jeho vyjádření v oblasti algebraické  je (Subscript[Y, 1])(s) tj. L-obraz (Subscript[y, 1])(t)

- Blok G2 má
		  jeden vstup, ten je označen v časové oblasti u(t). Jeho vyjádření v oblasti algebraické  je U(s) tj. L-obraz u(t)
		  jeden výstup, ten je označen v časové oblasti (Subscript[y, 2])(t). Jeho vyjádření v oblasti algebraické  je (Subscript[Y, 2])(s) tj. L-obraz (Subscript[y, 2])(t)

- Blok G3 má
		  jeden vstup, ten je označen v časové oblasti u(t). Jeho vyjádření v oblasti algebraické  je U(s) tj. L-obraz u(t)
		  jeden výstup, ten je označen v časové oblasti (Subscript[y, 3])(t). Jeho vyjádření v oblasti algebraické  je (Subscript[Y, 3])(s) tj. L-obraz (Subscript[y, 3])(t)

c- Vztah mezi vstupem a výstupem bloku G1
	vztah se vyjádřuje v algebraické oblasti a čte se z prava do leva 
		Y1(s) = G1(s) * U1 (s) , 		kde U1 (s) a Y1(s) jsou respektive společný vstup a výstup bloku G1

d- Vztah mezi vstupem a výstupem bloku G2
		vztah se vyjádřuje v algebraické oblasti a čte se z prava do leva 
			
		Y2(s) = G2(s) *U2 (s) =  G2(s) *Y1 (s) , 	kde U2 (s) a Y2(s) jsou respektive společný vstup a výstup bloku G2

e- Vztah mezi vstupem a výstupem bloku G3
	vztah se vyjádřuje v algebraické oblasti a čte se z prava do leva 		
		Y3(s) = G3(s) * U2 (s)  =  G3(s) *Y1 (s), 		kde  U2 (s) a Y3(s) jsou respektive společný vstup a výstup bloku G3

f- Vztah mezi vstupem a výstupem výsledného bloku G 
		vztah se vyjádřuje v algebraické oblasti a čte se postupně z prava do leva.  Jsou celkem 2 bloky (viz body c,d, e) a jeden sumátor. 
	 Výstup sumátoru bude:

Y(s) = Y1(s) + Y2(s) 
	
	dosazením za Y1(s) a  Y2(s)  z bodů c, d, e dostaneme  
	
			Y(s) = [G2(s) + G3(s) ]* Y1 (s)  =  [G2(s)+G3(s) ]*G1(s) * U (s) 
			
	vztah upravíme vytknutím E(s) 
	
			Y(s) = [G2(s)+G3(s) ]*G1(s) * U (s)
			
	Výsledný vztah bude
	
			Y(s) = G(s)  * U (s), 			kde 	G(s) =  [G2(s)+G3(s) ]*G1(s) 
	
	Z předchozího vyplývá
	
			G(s) =  [G2(s)+G3(s) ]*G1(s)

g- Výpočet výsledného bloku G
			
			Y(s) = G(s)  * U (s)
			
			Kde 
			
			G(s) =G1(s)  *  [  G2(s) +  G3(s) ]
			
	dosazením za G1(s),  G2(s) a  G3(s) dostaneme
	
			G(s) =  [ (0.5/(1+20s)) + (0.3/(1+10s))] * 0,2 
			
	převedením na společný jmenovatel G(s) bude
	
			G(s) =  [ (0.5/(1+20s)) + (0.3/(1+10s))] * 0,2  = (((1+10s)0,5 + (1+20s)0,3)/((1+20s)(1+10s))) * 0,2 = (((1+10s)0,1 + (1+20s)0,06)/((1+20s)(1+10s)))
	
	Po upravě dostaneme G(s)
			
			G(s) = ((0,16 + 2,2s )/(1+30s + 40 (s^2)))

3- Tvorba souboru typu .nb (notebook) a seznámení se s příkazovými řádky

a- Tvorba souboru typu notebook

v prostředí Wolfram-mathematica - hlavní menu postupně klepněte levým tlačíttkem myši na:
	
			File -> New -> Notebook (.nb) nebo ctrl+N
	
	objeví se prázdný soubor s názvem “ untitled-číslo”

uložte jej pod názvem “SmiRa _jmeno_trida_datum”

b- seznámení s jednotlivými příkazovými řádky
	v prostředí Wolfram-mathematica - hlavní menu postupně klepněte levým tlačíttkem myši na:
	
		Help ->Documentation Centre
	
	objeví se  podmenu

Do prázdného pole napište jednotlivé příkazové řádky a postupne prostudujte sytaxe a způsob použití

c- Tvorba funkčního modelu a ověření výsledků

Funkční model přenosové funkce G1 vytvoříme příkazovým řádkem

G1=TransferFunctionModel[{{k1 }},s]

Funkční model přenosové funkce G2 dostaneme příkazovým řádkem

G2=TransferFunctionModel[{{(k2/(1+T2*s)) }},s]

Funkční model přenosové funkce G3 vytvoříme příkazovým řádkem

G3=TransferFunctionModel[{{(k3/(1+T3*s)) }},s]

Funkční model výsledné přenosové funkce G = G+ + G2 + G3 vytvoříme jedným příkazovým řádkem

G=TransferFunctionModel[{{k1*((k2/(1+T2*s))+(k3/(1+T3*s)))}},s]

Funkční model výsledné přenosové funkce vytvořime také jako funkci parametrů k1,k2,k3 a T1,T2,T3

Prenos[k1_,k2_,k3_,T1_,T2_,T3_]:=TransferFunctionModel[(TransferFunctionModelFull[((k1 (k2+k3+k3 T2 s+k2 T3 s))/((1+T2 s) (1+T3 s))), , , ])]

a pro dané hodnoty parametrů k1,k2,k3 a T1,T2,T3 spočítáme následujícím příkazovým řádkem

GG=Prenos[0.2,0.5,0.3,0,20,10]

Obecný tvar přenosové funkce dostaneme následujícím příkazovým řádkem

TransferFunctionExpand[GG]

nebo stejným příkazovým řádkem s argumentem funkčního modelu

TransferFunctionExpand[(TransferFunctionModelFull[((0.16000000000000003` +2.2` s)/(1+30 s+200 (s^2))), , , ])]

Tvar součinu kořenových činitelů dostaneme následujícím příkazovým řádkem

TransferFunctionCancel[GG]

Přímý způsob výpočtu díčích bloků je

gg=TransferFunctionModel[{{0.2*((0.5/(1+20*s))+(0.3/(1+10*s)))}},s]

4- Řád soustavy G1, G2 a výsledné soustavy G

Řád soustavy G1 určuje stupeň polynomu ve jmenovateli přenosové funkce G1, tedy je 0
	Řád soustavy G2 určuje stupeň polynomu ve jmenovateli přenosové funkce G2, tedy je 1
	Řád soustavy G3 určuje stupeň polynomu ve jmenovateli přenosové funkce G3, tedy je 1
	Řád soustavy G určuje stupeň polynomu ve jmenovateli výsledné přenosové funkce G, tedy je 2

Závěr

Blok součtu  představuje
	-v booleovské algebře logický součet a vstupy a výstupy jsou binární proměnné, logická funkce 
		
				G = G1 * [G2  + G3], 		smíšené zapojení 3 tlačítek , 
		kde:
			 G1, G2 a G3 sou tlačítka 
			 G je paměťové relé 
		
	-v blokové algebře algebraický součet a vstupy a výstupy jsou spojité či dískrétní proměnné.
		
				G = G1 * [G2  + G3]  , 		smíšené zapojení 3 napěťových děličů
		kde:
			G1, G2 a G3 přenosové funkce napěťových děličů
			G, výsledná přenosová funkce výsledného napěťového děliče

Zdroje
		
		-Interní studijní materiál školy a firemní dokumentace software Wolfram-Mathematica.
		-http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/TransferFunctionPoles.html?q=TransferFunctionPoles&lang=en
		-http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/TransferFunctionZeros.html?q=TransferFunctionZeros&lang=en
		-http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/TransferFunctionFactor.html?q=TransferFunctionFactor&lang=en
		-http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/TransferFunctionModel.html?q=TransferFunctionModel&lang=en
		-http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/TransferFunctionExpand.html?q=TransferFunctionExpand&lang=en
		
Materiál je určen pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. 
Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.

Neocitovaná autorská díla jsou dílem autora.
Neocitované obrázky jsou součástí prostředků výukového software Microsoft office 2007.