Tvary spojioté přenosové funkce systému 2. řádu

Zadání

vyjádřete daný obecný tvar obrazového přenosu pomocí dalších typů tvarů jako jsou “tvar součinu kořenových činitelů”,  “tvar s časovými konstantami”  a “tvar parciálních zlomků”

G=(1/((s^(2 ))+ 3s+2 ))

Úkoly

1.	Připravte referát.  
2.	uveďte obecnou definici přenosové funkce.
3.	seznamte se s jednotlivými tvary vyjádření přenosové funkce (přenosu) a určete počet vstupů a výstupů  
	regulované soustavy a uvedťe jeho název.
4.	Určete kořeny polynomů v čitateli a jmenovateli (nuly = zeros, póly= pols).
5.	Napište  přenosovou funkci (přenos) ve tvaru kořenových činitelů a uveďte význam jeji parametrů .  
6.	Napište přenosovou funkci (přenos) ve tvaru s časovými konstantami a uveďte význam jeji parametrů.
7.	Napište přenosovou funkci (přenos) ve tvaru parciálních zlomků a uveďte význam jeji parametrů.
8.	Ověřte pomocí softwaru Wolfram-Mathematica výsledky z bodů 3 až 7, podle potřeby si vyžádejte pomoc od učitele
	a.	v prostředí softwaru Wolfram-Mathematica otevřete soubor typu .nb (notebook) a nazvěte jej 
		TvSpPrSys2rad _jmeno_trida_datum.
	b.	Seznamte se s příkazovými řádky  Apart, Simplify, FullSimplify, TransferFunctionFactor, TransferFunctionModel, 
		SystemsModelDimensions,TransferFunctionPoles, TransferFunctionZeros, TransferFunctionExpand a jejich využití.
	c.	Vytvořte funkční modely na základě jednotlivých tvaů přenosové funkce .
9.	Na základě funkčního modelu z bodu 8c) a určete řád dané soustavy s přenosem G(s).

Závěr

do závěru uveďte porovnávání  tvarů přenosové funkce a jejich využití a zejména  využití nul, pólů, zesílení a časových konstant.

-------------------------------------------------------------

1-Příprava referátu - vyplněte hlavičku referátu (viz formalář).

2-Obecná definice přenosové funkce

Přenosová funkce G je matematické vyjádření relace mezi vstupem lineárního systému u(t) a jeho výstupem y(t). Může být jednorozměný systém ( 1 vstup a 1 výstup) nebo vícerozměrný (několik vstupů a výstupů). Jsou znáné dva druhy přenosových funkcí obrazový a frekvenční přenos
	a - obrazový přenos : podíl Laplaceova obrazu Y(s) výstupního signálu y(t) k L-obrazu vstupního U(s) signálu u(t) při nulových počátečních podmínkách. L-obrazy získáme z originálů 
	Laplaceovou 	transformací.
	
					G(s) = ((Y(s))/(U(s))), 			kde s ≡ (d/dt)	je operátor derivace
	
	b - frekvenčný přenos : podíl Fourierova obrazu Y(jω) výstupního signálu y(t) k F-obrazu U(jω) vstupního signálu u(t) při nulových počátečních podmínkách. Frekvenční přenos lze 	
	formálně určit z obrazového přenosu dosazením s ≡ jω
	
						G( jω) = ((Y(jω))/(U(jω))), 			kde j komlexní operátor  a  ω krůhová frekvence

8-Ověření výsledků v prostředí Wolfram Mathematica

a- Tvorba souboru typu notebook

v prostředí Wolfram-mathematica - hlavní menu postupně klepněte levým tlačíttkem myši na:
	
			File -> New -> Notebook (.nb) nebo ctrl+N
	
	objeví se prázdný soubor s názvem “ untitled-číslo”

uložte jej pod názvem “TvPreFceSys2rad _jmeno_trida_datum”

b- seznámení s jednotlivými příkazovými řádky
	v prostředí Wolfram-mathematica - hlavní menu postupně klepněte levým tlačíttkem myši na:
	
		Help ->Documentation Centre
	
	objeví se  podmenu

Do prázdného pole napište jednotlivé příkazové řádky a postupne prostudujte sytaxe a způsob použití

c- Tvorba funkčních modelů a ověření vypočtených výsledků

bod 3-Jednotlivé tvary přenosové funkce - tvorba funkčního modelu

Jsou zmámé 4 tvary přenosové funkce lineární spojité regulované soustavy:
	-obecný tvar,
	-tvar součinu kořenových činitelů,
	-tvar s časovými konstantami,
	-tvar parciálních zlomků.

Funkční model přenosové funkce v obecném tvaru dostaneme příkazovým řádkem

G=TransferFunctionModel[{{(1/(s^2+3s+2))}},s]

a dimenze regulované soustavy bude

SystemsModelDimensions[(TransferFunctionModelFull[(1/(2+3s+(s^2))), , , ])]

Jedná se o jednorozměrnou regulovanou soustavu

bod 4-Kořeny polynomů v čitateli a jmenovateli (nuly = zeros, póly= poles).

Nuly určíme příkazovým řádkem

TransferFunctionZeros[G]

Póly určíme příkazovým řádkem

TransferFunctionPoles[G]

bod 5-Přenosová funkce - tvar kořenových činitelů

Tvar kořenových činitelů funkčního modelu z bodu 3 určíme příkazovým řádkem

TransferFunctionFactor[G]

bod 6-Přenosová funkce - tvar s časovými konstantami

Tvar s časovými konstantami funkčního modelu z bodu 5 určíme příkazovým řádkem

TransferFunctionModel[{{(0.5/((s+1)(0.5s+1)))}}, s]

Časové konstanty jsou 1/2, 1 . 
Statické zesílení soustavy určíme v ustáleném stavu výstupu soustavy y(t) pro t -> ∞ nebo pro s -> 0 , tedy je 1/2

bod 7-Přenosová funkce - tvar parciálních zlomků

Tvar parciálních zlomků funkčního modelu určíme příkazovým řádkem

Apart[(0.5/((s+1)(0.5s+1)))]

Výsledekem je součet 2  přenosů. Tvar součinu kořenových činitelů dostaneme

TransferFunctionModel[{{(1/(1+ s))-(1/(2+1s))}}, s]

Obecný tvar dostaneme zpět

TransferFunctionModel[{{(1/(1+ s))-(1/(2+1s))}}, s]//Simplify

9-Řád regulované soustavy 
	řád regulované soustavy určuje nejvýšší stupeň polynomu na jmenovateli přenosové funkce G. V našem případě je 3.

Závěr
Přenosová funkce se používá hlavně 
	-pro popis chování a vlastnosti regulovaných soustav (elektrické, mechanické, elektrome
	chanické, pneumatické a hydraulické) a regulátorů. 
	-při vyšetřování stability regulačních obvodů
	-při návrhu regulátorů
Časová konstanta: určuje ideální dobu, za kterou by výstup regulované soustavy  dosahl ustalený stav y(t) pro t -> ∞ .  
Nuly, poly a zesílení soustavy: určují hlavně míru stability regulované nebo regulační soustavy při návrhu regulátoru. 
Obecný tvar přenosové funkce: určuje řád soustavy, řad astatismu a usnadňuje kreslení frekvenční charakteristiky v komplexní rovině
Tvar parciálních zlomků přenosové funkce: usnadňuje realizace soustavy. 
Tvar přenosová funkce s časovými konstantami: usnadňuje kreslení frekvenční amplitudové a fázvé charakteristiky . Je nejpouživanější  tvar v regulační technice .

Zdroje

		-Interní studijní materiál školy a firemní dokumentace software Wolfram-Mathematica.
		-http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/TransferFunctionPoles.html?q=TransferFunctionPoles&lang=en
		-http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/TransferFunctionZeros.html?q=TransferFunctionZeros&lang=en
		-http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/TransferFunctionFactor.html?q=TransferFunctionFactor&lang=en
		-http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/TransferFunctionModel.html?q=TransferFunctionModel&lang=en
		-http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/TransferFunctionExpand.html?q=TransferFunctionExpand&lang=en
		
Materiál je určen pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. 
Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.

Neocitovaná autorská díla jsou dílem autora.
Neocitované obrázky jsou souèástí prostøedkù výukového software Microsoft office 2007.